EP Svängande balk, Dimensionsanalys

Jag kanske missuppfattar din fråga, men tiden kommer ju från materialets elasticitetsmodul. Det är den som beskriver med vilken kraft föremålet vill återgå till sin neutrala position när vibrationen förskjutit den från jämviktspunkten. Ditt uttryck för frekvensen på vibrationen måste alltså vara proportionellt mot roten ur elasticitetsmodulen.

Förutom det känns det lite onaturligt för mig att svängningstiden skulle bero på begynnelseamplituden. Är det givet att du ska undersöka om den påverkar, eller har du sett i experimentet att den faktiskt gör det?

PeBo skrev:

Jag kanske missuppfattar din fråga, men tiden kommer ju från materialets elasticitetsmodul. Det är den som beskriver med vilken kraft föremålet vill återgå till sin neutrala position när vibrationen förskjutit den från jämviktspunkten. Ditt uttryck för frekvensen på vibrationen måste alltså vara proportionellt mot roten ur elasticitetsmodulen.

Förutom det känns det lite onaturligt för mig att svängningstiden skulle bero på begynnelseamplituden. Är det givet att du ska undersöka om den påverkar, eller har du sett i experimentet att den faktiskt gör det?

Ja det är helt riktigt, begynnelse amplituden påverkar inte svängningstiden. Vi såg under labben den inte gör det genom att prova olika begynnelseamplituden och jämföra mätsvaret.

Problemet som vi kommit till är att vi försöker eliminera beroenden för att få fram ett uttryck för T.  När vi gör det i Dimensionsanalysen väljer väljer vi tre repeterande variabler(E, L, P) för att sedan kunna använda replika-trick för att få ett förenklat beroende.  När vi gör detta får vi en funktion utan T ingående eftersom Elasticiteten är den enda som innehåller T används denna som repeterande variabel.

Funktionen vi får ut ser ut så här: f(A/L, H/L, B/L). Det är bara längder och kan inte vara ekvivalent med T.

Förstår inte hur man ska komma fram till ett uttryck med de dimensioner vi hittat.

Vi behöver veta mer om hur du har gjort för att kunna hjälpa dig vidare. Visa steg för steg hur du har kommit fram till f(A/L, H/L, B/L! I vilket steg försvann L, P och E? Skrev du inte nyss att amplituden inte påverkar stängningstiden?

Sim_n skrev:

Ja det är helt riktigt, begynnelse amplituden påverkar inte svängningstiden. Vi såg under labben den inte gör det genom att prova olika begynnelseamplituden och jämföra mätsvaret.

Man kan förstå detta genom att om fallet var så att perioden berodde på ursprungsamplituden skulle stränginstrument inte fungera att spela musik med. Perioden är reciprok till frekvensen vilken avgör tonen och när du spelar gitarr vill du gärna att E-strängen lyder med E-tonen.

Problemet som vi kommit till är att vi försöker eliminera beroenden för att få fram ett uttryck för T.  När vi gör det i Dimensionsanalysen väljer väljer vi tre repeterande variabler(E, L, P) för att sedan kunna använda replika-trick för att få ett förenklat beroende.  När vi gör detta får vi en funktion utan T ingående eftersom Elasticiteten är den enda som innehåller T används denna som repeterande variabel.

Funktionen vi får ut ser ut så här: f(A/L, H/L, B/L). Det är bara längder och kan inte vara ekvivalent med T.

Förstår inte hur man ska komma fram till ett uttryck med de dimensioner vi hittat.

Märklig metod. Har ni hittat på den själv? Är det genom Buckingham Pi eller traditionell ingenjörsteknik? Traditionellt gör man en produktansats enligt:

$T =k \cdot H^{a} \cdot B^{b} \cdot L^{c} \cdot A^{d} \cdot P^{e} \cdot E^{f}$

Här är $k$ någon konstant. Sedan gör man mätningar där man varierar endast en variabel men håller övriga konstanta. Detta ger mätningar man kan använda vid linjärisering av produktansatsen. Denna analys ska exempelvis ge $d=0$ eftersom perioden inte beror på ursprungsamplituden. När du sedan bestämt alla exponenter kan du göra dimensionsanalys. Genom den kan du också avgöra om konstanten är dimensionslös.

Oavsett vad ni gör så är funktionen ni beskriver inte fullständig då den måste innehålla någon faktor med tiden som dimension i täljaren. Den kan vara uppbyggd som en funktion likt hur ni beskrev men det betyder att dimensionsmässigt finns exempelvis E-modulen någonstans i funktionen som en konstant, det är bara så att funktionen inte beror på E då den inte varieras i era försök.

Med tungan rätt i mun kan vi direkt förstå att baserat på de variabler som ni identifierat måste exponenten för E vara $f=-1/2$. Detta därför att det finns inget annat sätt att producera tid som dimension i täljaren. Du får:

$[E^{-1/2}] = \sqrt{\dfrac{LT^{2}}{M}}=T\cdot \sqrt{\dfrac{L}{M}}$

Notis: Detta vill jag egentligen inte skriva då det kan stjälpa mer än hjälpa men enligt uppställningen ni gjort kommer perioden inte bero på bredden heller. Om ni håller densiteten approximativt konstant men varierar bredden ska inte denna påverka. Detta kan intuitivt härledas från att svängningen enbart sker vertikal led och därför bara är ett tvådimensionellt problem (egentligen endimensionellt som Meirovitch visade men det kommer du säkert lära dig senare).

Ebola skrev:

Sim_n skrev:

Ja det är helt riktigt, begynnelse amplituden påverkar inte svängningstiden. Vi såg under labben den inte gör det genom att prova olika begynnelseamplituden och jämföra mätsvaret.

Man kan förstå detta genom att om fallet var så att perioden berodde på ursprungsamplituden skulle stränginstrument inte fungera att spela musik med. Perioden är reciprok till frekvensen vilken avgör tonen och när du spelar gitarr vill du gärna att E-strängen lyder med E-tonen.

Problemet som vi kommit till är att vi försöker eliminera beroenden för att få fram ett uttryck för T.  När vi gör det i Dimensionsanalysen väljer väljer vi tre repeterande variabler(E, L, P) för att sedan kunna använda replika-trick för att få ett förenklat beroende.  När vi gör detta får vi en funktion utan T ingående eftersom Elasticiteten är den enda som innehåller T används denna som repeterande variabel.

Funktionen vi får ut ser ut så här: f(A/L, H/L, B/L). Det är bara längder och kan inte vara ekvivalent med T.

Förstår inte hur man ska komma fram till ett uttryck med de dimensioner vi hittat.

Märklig metod. Har ni hittat på den själv? Är det genom Buckingham Pi eller traditionell ingenjörsteknik? Traditionellt gör man en produktansats enligt:

$T =k \cdot H^{a} \cdot B^{b} \cdot L^{c} \cdot A^{d} \cdot P^{e} \cdot E^{f}$

Vi har ställt upp som du skrivit här men har använt en metod som jag inte vet namnet på men den används för att eliminera beroenden vid fysikaliska experiment så att man kan få ner ett beroende av flera variabler ner till 3 eller 4 st. Kan dock ha missförstått användningen av den. Ska prova att få fram potenserna och göra den vanliga metoden istället. 

Här är $k$ någon konstant. Sedan gör man mätningar där man varierar endast en variabel men håller övriga konstanta. Detta ger mätningar man kan använda vid linjärisering av produktansatsen. Denna analys ska exempelvis ge $d=0$ eftersom perioden inte beror på ursprungsamplituden. När du sedan bestämt alla exponenter kan du göra dimensionsanalys. Genom den kan du också avgöra om konstanten är dimensionslös.

Oavsett vad ni gör så är funktionen ni beskriver inte fullständig då den måste innehålla någon faktor med tiden som dimension i täljaren. Den kan vara uppbyggd som en funktion likt hur ni beskrev men det betyder att dimensionsmässigt finns exempelvis E-modulen någonstans i funktionen som en konstant, det är bara så att funktionen inte beror på E då den inte varieras i era försök.

Med tungan rätt i mun kan vi direkt förstå att baserat på de variabler som ni identifierat måste exponenten för E vara $f=-1/2$. Detta därför att det finns inget annat sätt att producera tid som dimension i täljaren. Du får:

$[E^{-1/2}] = \sqrt{\dfrac{LT^{2}}{M}}=T\cdot \sqrt{\dfrac{L}{M}}$

Smaragdalena skrev:

Vi behöver veta mer om hur du har gjort för att kunna hjälpa dig vidare. Visa steg för steg hur du har kommit fram till f(A/L, H/L, B/L! I vilket steg försvann L, P och E? Skrev du inte nyss att amplituden inte påverkar stängningstiden?

Detta är en rörig uträkning då jag inte vet hur man skriver fina uträkningar här men skriver uträkningarna från labb loggboken. Vet att de är lite oklara men har tyvärr inte tillgång till pappret där vi skrev hela uträkningarna just nu. Hoppas att det framgår vad vi försöker göra iallafall.

Dimensionsanalys:

1, Beroende variabel är svängningstiden T. [T]=T

2, De parametrar som kan tänkas påverka T som vi kan ändra kontrollerat är:

Steg 1: Skriv ner dimensionerna för alla variabler

Begynnelse Amplitud: A (m), [A]=L

Längd av hävarm: L (m), [L]=L

Tjocklek av balk: H(m), [H]=L

Bredd av balk B(m), [H]=L

Balkens densitet P(kg/m^3), [P]=ML^-3

Materialets elasticitetsmodul E(N/M^2 eller kg*m^-1*s^-2), [E]=ML^-1T^-2

T=CA^aL^bH^cB^dP^eE^f

[T]=[CA^aL^bH^cB^dP^eE^f]

[T] = [A]^a [L]^b [H]^c [B]^d [P]^e [E]^f

[T]=L^a L^b L^c L^d (ML^-3)^e (M L^-1 T^-2)^f 

Steg 2: Välj lika många variabler som antalet inblandade grunddimensioner. Dessa kallas repeterade variabler:

Får ej vara dimensionslös
Ingen får ha samma dimension som någon annan

De repeterade variablerna kommer bestå av längd ,massa och tid.

Vi väljer E, L och P som de repeterande variablerna

(här sätter man likhet mellan de valda och kvarvarande variabler. Efter uträkning måste svaret vara dimensionslöst)
ELPA

L^aA^bE^cP^d[ ]=L^aL^b(ML^-1T^-2)^c(ML^-3)^d

pi_1=A/L

ELPH[]=...=

Pi_2=H/L

ELPB[]=...=

pi_3=B/L

f(A/L, H/L, B/L)

Efter detta steg vet vi inte vad vi ska göra längre eftersom vi inte vet hur vi får Svängningstiden T=f(....)

Sim_n skrev:

[...]

Läs mitt inlägg så ser du att du kan bestämma exponenten för E-modulen genom direkt inspektion. Resterande följer.

ELPA

L^aA^bE^cP^d[ ]=L^aL^b(ML^-1T^-2)^c(ML^-3)^d

pi_1=A/L

ELPH[]=...=

Pi_2=H/L

ELPB[]=...=

pi_3=B/L

f(A/L, H/L, B/L)

Efter detta steg vet vi inte vad vi ska göra längre eftersom vi inte vet hur vi får Svängningstiden T=f(....)

Jag förstår inte alls vad ni gjort. För en mer utförlig och överskådlig presentation kan du antingen sitta på en dator så att du infogar ekvationer med "rot-tecknet" eller använda valfri mackapär och ladda upp ett foto alternativt använda LaTeX:

Guide till LaTeX på PA

Metoden ni använder är Buckingham Pi med en del missförstånd inbakade. Jag kan reda ut dessa senare om du inte hinner lägga upp ett mer lättförståeligt svar tills dess.

Ett fel ni gjorde var att ni antog att ni hade totalt 6 variabler men ni glömde räkna med perioden i er ursprungliga uppställning. Den är också med så att ert totala antal skulle varit 7.

Sim_n skrev:

Vi har ställt upp som du skrivit här men har använt en metod som jag inte vet namnet på men den används för att eliminera beroenden vid fysikaliska experiment så att man kan få ner ett beroende av flera variabler ner till 3 eller 4 st. 

Problemet med att använda Buckingham Pi i detta fall är att teoremet faller samman när ni har densitet som definierad variabel eftersom $V = HBL$ dyker upp i sambandet för densitet enligt $P = m/V$. Bättre är därför att definiera massa istället för densitet och få antalet pi-parametrar till unika $6 - 3 = 3$. Jag väljer variablerna E, $\ell$ och m där $\ell$ är längden:

$\Pi_{1} = E^{a} \ell^{b} m^{c} H= M^{0}L^{0}T^{0}$

$\Pi_{2} = E^{d} \ell^{e} m^{f} B= M^{0}L^{0}T^{0}$

$\Pi_{3} = E^{g} \ell^{h} m^{i} t= M^{0}L^{0}T^{0}$

Här har jag valt variabeln $t$ för period så den inte blandas ihop med dimensionen för tid $T$. Vi bestämmer exponenterna som ger oss dimensionslösa parametrar:

$\left(\dfrac{M}{LT^{2}}\right)^{a}L^{b}M^{c}L=M^{a+c}L^{b+1-a}T^{-2a}$

Detta ger $a = 0$, $b=-1$ och $c=0$.

$\left(\dfrac{M}{LT^{2}}\right)^{d}L^{e}M^{f}L = M^{d+f}L^{e+1-d}T^{-2d}$

Detta ger $d=0$, $e=-1$ och $f=0$ likt ovan.

$\left(\dfrac{M}{LT^{2}}\right)^{g}L^{h}M^{i}T = M^{g+i}L^{h-g}T^{1-2g}$

Detta ger $g = 1/2$, $h=1/2$ och $i = -1/2$. Slutligen har vi alltså:

$\Pi_{1} = \dfrac{H}{\ell}$

$\Pi_{2} = \dfrac{B}{\ell}$

$\Pi_{3} = \sqrt{\dfrac{E \ell }{m}} t$

Du har nu alltså funktionen enligt $t = f\left(\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\right)$.

Notis 1: Var nu med på vad detta resultat ska användas till. Du har identifierat dimensionslösa parametrar som kan ge en hint om vilka variabler du ska betrakta som beroende och vilka du ska betrakta som oberoende i dina försök. 

Då du redan gjort försök ser jag inte poängen med att använda Buckingham Pi överhuvudtaget. Du behöver bara följa produktansats, linjärisering och dimensionsanalys enligt traditionell ingenjörsteknik. 

Vad står det egentligen i instruktionerna att ni ska göra?

Notis 2: Glömde nämna att ni bör vara väldigt noggranna med att inte inkludera variabler som ni genom enkla tankeexperiment kan exkludera. Detta gäller i ert fall ursprungsamplituden $A$ som jag alltså inte tog hänsyn till alls.

Ebola skrev:

Ett fel ni gjorde var att ni antog att ni hade totalt 6 variabler men ni glömde räkna med perioden i er ursprungliga uppställning. Den är också med så att ert totala antal skulle varit 7.

Sim_n skrev:

Vi har ställt upp som du skrivit här men har använt en metod som jag inte vet namnet på men den används för att eliminera beroenden vid fysikaliska experiment så att man kan få ner ett beroende av flera variabler ner till 3 eller 4 st. 

Problemet med att använda Buckingham Pi i detta fall är att teoremet faller samman när ni har densitet som definierad variabel eftersom $V = HBL$ dyker upp i sambandet för densitet enligt $P = m/V$. Bättre är därför att definiera massa istället för densitet och få antalet pi-parametrar till unika $6 - 3 = 3$. Jag väljer variablerna E, $\ell$ och m där $\ell$ är längden:

$\Pi_{1} = E^{a} \ell^{b} m^{c} H= M^{0}L^{0}T^{0}$

$\Pi_{2} = E^{d} \ell^{e} m^{f} B= M^{0}L^{0}T^{0}$

$\Pi_{3} = E^{g} \ell^{h} m^{i} t= M^{0}L^{0}T^{0}$

Här har jag valt variabeln $t$ för period så den inte blandas ihop med dimensionen för tid $T$. Vi bestämmer exponenterna som ger oss dimensionslösa parametrar:

$\left(\dfrac{M}{LT^{2}}\right)^{a}L^{b}M^{c}L=M^{a+c}L^{b+1-a}T^{-2a}$

Detta ger $a = 0$, $b=-1$ och $c=0$.

$\left(\dfrac{M}{LT^{2}}\right)^{d}L^{e}M^{f}L = M^{d+f}L^{e+1-d}T^{-2d}$

Detta ger $d=0$, $e=-1$ och $f=0$ likt ovan.

$\left(\dfrac{M}{LT^{2}}\right)^{g}L^{h}M^{i}T = M^{g+i}L^{h-g}T^{1-2g}$

Detta ger $g = 1/2$, $h=1/2$ och $i = -1/2$. Slutligen har vi alltså:

$\Pi_{1} = \dfrac{H}{\ell}$

$\Pi_{2} = \dfrac{B}{\ell}$

$\Pi_{3} = \sqrt{\dfrac{E \ell }{m}} t$

Du har nu alltså funktionen enligt $t = f\left(\Pi_{1}, \Pi_{2}, \Pi_{3}\right)$.

Notis 1: Var nu med på vad detta resultat ska användas till. Du har identifierat dimensionslösa parametrar som kan ge en hint om vilka variabler du ska betrakta som beroende och vilka du ska betrakta som oberoende i dina försök. 

Då du redan gjort försök ser jag inte poängen med att använda Buckingham Pi överhuvudtaget. Du behöver bara följa produktansats, linjärisering och dimensionsanalys enligt traditionell ingenjörsteknik. 

Vad står det egentligen i instruktionerna att ni ska göra?

Notis 2: Glömde nämna att ni bör vara väldigt noggranna med att inte inkludera variabler som ni genom enkla tankeexperiment kan exkludera. Detta gäller i ert fall ursprungsamplituden $A$ som jag alltså inte tog hänsyn till alls.

Tack för all hjälp! Vi har varit helt ute på villovägar.