Enveriabelanalys, ny derivering

Det är tyvärr fel. När man får sådana här lager-på-lager-deriveringar rekommenderar jag att man inför lite beteckningar. Låt oss kalla $g(x)=e^x\sin(2x)$.

Då blir:

$f'\left(x\right)=\dfrac{g'(x)\ln(x)-g(x)\cdot\frac{1}{x}}{(\ln(x))^2}$

Sedan kan vi bestämma $g'(x)$ och sätta in det i detta uttryck. Vad får du då?

I see.. OM jag förstått det rätt så får jag f’(x)=(e^x*sin(2x)+e^x*2cos(2x))-(e^x*sin(2x)*1/x) / (ln𝑥)^2

Bättre?

Mycket nära! Det saknas en faktor av $\ln(x)$ kring den vänstra parentesen, annars var det rätt.

$f'\left(x\right)=\dfrac{(e^x\sin(2x)+2e^x\cos(2x))\color{red}\ln(x)\color{black}-e^x\sin(2x)\cdot\frac{1}{x}}{(\ln(x))^2}$

Jaaaa såklart..!

Ser dock väldigt rörigt ut, nå tips på hur man kan förkorta detta?:/

Tror det är enklare med implicit derivering här. Förläng båda leden med $\ln x$ och derivera sedan VL och HL.

$\frac{d}{dx}VL=\frac{d}{dx}\left(f\right(x)·\ln x)=...$

Alternativt logaritmisk derivering:

$\frac{d}{dx}\ln VL=\frac{d}{dx}\ln HL$

Kennedy skrev:

Ser dock väldigt rörigt ut, nå tips på hur man kan förkorta detta?:/

 Det är ju inte ett jättesnyggt uttryck till att börja med, men så här är väl marginellt bättre:

$f'\left(x\right)=\dfrac{e^x(\sin(2x)+2\cos(2x))}{\ln(x)}-\dfrac{e^x\sin(2x)}{x(\ln(x))^2}$

Håller med, men ser korrekt ut iaf. Tack så mycket för hjälpen!

Ett alternativt knep är att multiplicera med nämnaren och därefter derivera med hjälp av Produktregeln. 

    $(f(x) \cdot \ln x)^{'} = f'(x)\cdot \ln x + \frac{1}{x}\cdot f(x).$

Detta ska vara lika med derivatan av $e^{x}\cdot \sin 2x$, som är lika med funktionen

    $e^{x} \cdot \sin 2x + 2e^{x}\cdot \cos 2x$

och eftersom $e^{x} \cdot \sin 2x = f(x) \cdot \ln x$ kan man skriva detta som $f(x) \cdot\ln x+2e^{x}\cdot\cos2x$ som alltså ska vara lika med $f'(x)\cdot\ln x+\frac{1}{x}\cdot f(x)$.

    $f'(x)\cdot\ln x=f(x)\cdot(\ln x-\frac{1}{x})+2e^{x}\cdot\cos 2x$.

Dividera sedan med $\ln x$ och förläng en av termerna med $\sin 2x$ och kom ihåg definitionen av funktionen $f$ och använd Sinus-för-dubbla-vinkeln för att få 

    $f'(x) = f(x) \cdot (1-\frac{1}{x\ln x}) + f(x) \cdot \sin 4x \iff f'(x) = f(x) \cdot (1-\frac{1}{x\ln x}+\sin 4x).$

Detta angreppssätt har gett en derivata som visar litet mer struktur och särskilt hur derivatan påverkas av ursprungsfunktionen $f$.