Enveriabelanalys

Hitta f'(x) och dess nollställen. (är f(x) korrekt avskriven?)

Sedan kan du titta på f''(x), men det finns även andra metoder.

Nu är den korrekt avskriven..

Har du deriverat?

Yes, jag har: f’(x)= 2x*e^x-x^2*e^x / (e^x)^2

= 2x-x^2 / e^x

Hur går jag vidare nu?:/

Nollställen. 

Du slarvar med parenteser, alltså har ditt uttryck blivit fel.

f’(x)= (2x*e^x)-(x^2*e^x) / (e^x)^2

= 2x-x^2 / e^x Blir inte detta rätt?

Det är just nollställena jag har problem med då e^x är i nämnaren..

Kennedy skrev:

f’(x)= (2x*e^x)-(x^2*e^x) / (e^x)^2

= 2x-x^2 / e^x Blir inte detta rätt?

Det är just nollställena jag har problem med då e^x är i nämnaren..

 Jag har inte kollat din derivering, men för att hitta nollställena behöver du inte bry dig om nämnaren eftersom $e^x>0 \forall x\in \mathrm{ℝ}$.

Kennedy skrev:

f’(x)= (2x*e^x)-(x^2*e^x) / (e^x)^2

= 2x-x^2 / e^x Blir inte detta rätt?

Det är just nollställena jag har problem med då e^x är i nämnaren..

 Nej, det är fortfarande fel. Om du envisas med att inte använda formelskrivaren, måste du sätta hela täljaren i parentes:

f’(x)= ((2x*e^x)-(x^2*e^x)) / (e^x)^2

=(2x-x^2) / e^x

Men det blir betydligt tydligare om man skriver

$f'(x)=\frac{(2x\cdot e^x)-(x^2\cdot e^x)}{(e^x)^2}=\frac{2x-x^2}{e^x}$

Alltså behöver jag bara hitta nollställen hos täljaren? :

2x-x^2=0 > x=2 , eller ska det finnas fler nollställen?  och sedan andraderivata för att kolla min/max?

Du har missat ett nollställe. Använd nollproduktmetoden, som du lärde dig i Ma2.

Det finns en till lösning. 

(Man slipper kvotregeln om man skriver om

$f(x) = x^2e^{-x}$

)

Ja, att undersöka andraderivatans tecken är en variant för fortsättning. 

Så:   x(2-x)=0 ger x=0 och 2

> f’’(x)=2-2x

f”(0)=2 (minpunkt)

f”(2)=-2 (maxpunkt)

Bättre?

Någon som kan bekräfta detta?:(

Kennedy, det står i Pluggakutens regler att man skall vänta åtminstone 24 timmar innan man bumpar sin tråd. Cirka 4 timmar ärn inte tillräckligt. /moderator

Har du hört talas om WolframAlpha? Där kan man själv räkna ut det mesta.

Kennedy skrev:

Så:   x(2-x)=0 ger x=0 och 2

> f’’(x)=2-2x

f”(0)=2 (minpunkt)

f”(2)=-2 (maxpunkt)

Bättre?

Andraderivatan är inte $2-2x$. Derivera ditt uttryck $\frac{2x-x^{2 }}{e^x}$, antingen som en kvot eller som en produkt: $(2x-x^2) e^{-x}$. När du har andraderivatan kan du kolla om nollställena är max, min eller terrasspunkter.

Där blir jag så osäker.. jag ska alltså inte fortsätta på 2x-x^2 när jag går till anadraderivatan?

Hitta alla stationära punkter till $f\left(x\right)=\frac{x^2}{e^x}$.

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{e^x}=x^2{e}^{-x}$

$f\text{'}\left(x\right)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}=x{e}^{-x}(2-x)$ - produktregeln + kedjeregeln.

$f\text{'}\left(x\right)=0 \iff x{e}^{-x}(2-x)=0 \iff x(2-x)=0 \iff x_1=0, x_2=2$ eftersom $e^{-x}>0 \forall x\in \mathrm{ℝ}$.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(x{e}^{-x}\right(2-x\left)\right)=-x{e}^{-x}+(2-x)(e^{-x}-x{e}^{-x})=...$

Moffen skrev:

Hitta alla stationära punkter till $f\left(x\right)=\frac{x^2}{e^x}$.

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{e^x}=x^2{e}^{-x}$

$f\text{'}\left(x\right)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}=x{e}^{-x}(2-x)$ - produktregeln + kedjeregeln.

$f\text{'}\left(x\right)=0 \iff x{e}^{-x}(2-x)=0 \iff x(2-x)=0 \iff x_1=0, x_2=2$ eftersom $e^{-x}>0 \forall x\in \mathrm{ℝ}$.

$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(x{e}^{-x}\right(2-x\left)\right)=-x{e}^{-x}+(2-x)(e^{-x}-x{e}^{-x})=...$

 Det där hjälpte tyvärr inte här.

Kennedy skrev:

Där blir jag så osäker.. jag ska alltså inte fortsätta på 2x-x^2 när jag går till anadraderivatan?

 Jo, och det ska antingen divideras med $e^x$ eller multipliceras med $e^{-x}$. Produktmetoden:

$\left(\begin{array}{c}\frac{d}{dx}\end{array}2-x^2\right)\left(e^{-x}\right)+\left(2-x^2\right)\left(\frac{d}{dx}{e}^{-x}\right)$

Edit: typo i uttrycket ovan, där det står 2 ska det stå 2x.

Hej!

Du har funktionen $f(x) = x^2e^{-x}$ där $x\in\mathbb{R}$ och vill bestämma dess stationära punkter. Funktionen är deriverbar så dess stationära punkter är nollställen för funktionens derivata, som är funktionen

    $f'(x) = 2xe^{-x}-x^2e^{-x} = (2-x)xe^{-x}$ där $x\in\mathbb{R}$.

Derivatans nollställen är $x=0$ och $x=2$. För att klassificera de två stationära punkterna $(0,0)$ och $(2,4e^{-2})$ kan du studera hur derivatans tecken förändras då $x$ ligger till vänster och till höger om $x = 0$ respektive $x=2$.

• Om derivatans tecken inte ändras har du en terrasspunkt.
• Om derivatans tecken ändras från negativ till positiv har du en lokal minimipunkt.
• Om derivatans tecken ändras från positiv till negativ har du en lokal maximipunkt.

Albiki skrev:

Hej!

Du har funktionen $f(x) = x^2e^{-x}$ där $x\in\mathbb{R}$ och vill bestämma dess stationära punkter. Funktionen är deriverbar så dess stationära punkter är nollställen för funktionens derivata, som är funktionen

    $f'(x) = 2xe^{-x}-x^2e^{-x} = (2-x)xe^{-x}$ där $x\in\mathbb{R}$.

Derivatans nollställen är $x=0$ och $x=2$. För att klassificera de två stationära punkterna $(0,0)$ och $(2,4e^{-2})$ kan du studera hur derivatans tecken förändras då $x$ ligger till vänster och till höger om $x = 0$ respektive $x=2$.

• Om derivatans tecken inte ändras har du en terrasspunkt.
• Om derivatans tecken ändras från negativ till positiv har du en lokal minimipunkt.
• Om derivatans tecken ändras från positiv till negativ har du en lokal maximipunkt.

Tack så mycket för svar Albiki! Men skulle man på en tenta kunna visa som jag gjort tidigare under denna tråd?

Kennedy skrev:

Albiki skrev:

Hej!

Du har funktionen $f(x) = x^2e^{-x}$ där $x\in\mathbb{R}$ och vill bestämma dess stationära punkter. Funktionen är deriverbar så dess stationära punkter är nollställen för funktionens derivata, som är funktionen

    $f'(x) = 2xe^{-x}-x^2e^{-x} = (2-x)xe^{-x}$ där $x\in\mathbb{R}$.

Derivatans nollställen är $x=0$ och $x=2$. För att klassificera de två stationära punkterna $(0,0)$ och $(2,4e^{-2})$ kan du studera hur derivatans tecken förändras då $x$ ligger till vänster och till höger om $x = 0$ respektive $x=2$.

• Om derivatans tecken inte ändras har du en terrasspunkt.
• Om derivatans tecken ändras från negativ till positiv har du en lokal minimipunkt.
• Om derivatans tecken ändras från positiv till negativ har du en lokal maximipunkt.

 

Tack så mycket för svar Albiki! Men skulle man på en tenta kunna visa som jag gjort tidigare under denna tråd?

 Du skrev att Moffens inlägg som använde andraderivata inte hjälpte dig, så därför presenterade jag en lösningsmetod som inte använder andraderivatan. Jag rekommenderar att du använder min metod som är enklare och mer direkt än beräkning av andraderivata, särskilt med tanke på att du verkar ha svårt för att derivera funktioner.