13 svar

588 visningar

Envariabelsanalys: Geometrisk summa och derivata av funktionen

Hej!

Har problem med följande fråga. Jag tror mig möjligtvis vara något på spåren på första delen med andra delen har jag mer problem.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(x - 1)}^{k}}{k \times 2^{k}}$

a) Bestäm det naturliga definitionsområdet D(f ) ⊂ R för f (x), dvs. bestäm för vilka x man kan
beräkna funktionsvärdet f (x). Ange också för vilka x ∈D(f ) serien är absolutkonvergent.
Ledning: Kvottestet.
b) Skriv ett slutet uttryck för f ′(x) som gäller på intervallet (−1, 3), dvs. skriv f ′(x) som en
elementär funktion som inte innehåller någon oändlig summa. Använd det slutna uttrycket för
f ′(x), samt att f (1) = 0, f ̈or att hitta ett slutet uttryck f ̈or f (x).
Ledning: 1) Summa av geometrisk serie. 2) Om g(x) ̈ar en funktion sådan att f ′(x) = g′(x),
så gäller f (x) = g(x) + c för någon konstant c ∈R.

a). kvottest: $|\frac{{(x - 1)}^{(n + 1)}}{\frac{(n + 1) \times 2^{(n + 1)}}{\frac{{(n - 1)}^{n}}{n \times 2^{n}}}}|$ = $|\frac{(x - 1)}{2}|$

serien konvergerar när $\lim_{n \to \infty} |\frac{a k + 1}{a k}| < 1$

Vi hittar intervallet:

$\frac{2 \cdot |x - 1|}{2} < 1 \cdot 2 \leftrightarrow |x - 1| < 2$

Absolute rule: (vad heter den på svenska?): $- 2 < x < 3$

Vi slår ihop överlappande intervall och får: $- 1 < x < 3$

Vi kontrollerar konvergens/divergens vid ändpunkterna:

för x=-1: $\sum_{n = - 1}^{\infty} \frac{({(- 1) - 1)}^{n}}{n \cdot 2^{n}} - > k o n v e r g e r a r$

För x=3 $\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{{(3 - 1)}^{n}}{n \cdot 2^{n}} - - > D i v e r g e r e a r$ :

Svar: Serien är absolutkonvergent inom $- 1 \leq x < 3$ .

b). Här tänker jag att man ska ta fram derivatan av serien och sedan sätta in -1,0,1,2,3 likt en geometrisk serie? Tänker jag rätt?

Jag utgår från att f(x) är funktionen som är bestämd av den givna serien och att du har bestämt konvergensradien (i detta fallet konvergensintervallet eftersom vi rör oss i R) korrekt. Nu till din fråga.

Detta är en s k potensserie och man vet att en sådan konvergerar absolut och likformigt på kompakta delmängder innanför konvergenscirkeln. Det är den likformiga konvergensen som tillåter oss att derivera termvis. Om man gör det i detta fallet får vi en vanlig geometrisk serie som man kan bestämma summan av. Det verkar som att det är så du har tänkt och det är korrekt. För att efter integration bestämma c som anges i ledningen, bör det räcka med att sätta in ett av värdena INOM konvergensintervallet, alltså inte t ex x=3. Jag skulle inte heller sätta in randvärdet x=-1 även om du konstaterat att serien konvergerar där. (Undvik randvärden så långt som möjligt, för där kan obehagliga saker hända.)

Tomten skrev:
Jag utgår från att f(x) är funktionen som är bestämd av den givna serien och att du har bestämt konvergensradien (i detta fallet konvergensintervallet eftersom vi rör oss i R) korrekt. Nu till din fråga.

Detta är en s k potensserie och man vet att en sådan konvergerar absolut och likformigt på kompakta delmängder innanför konvergenscirkeln. Det är den likformiga konvergensen som tillåter oss att derivera termvis. Om man gör det i detta fallet får vi en vanlig geometrisk serie som man kan bestämma summan av. Det verkar som att det är så du har tänkt och det är korrekt. För att efter integration bestämma c som anges i ledningen, bör det räcka med att sätta in ett av värdena INOM konvergensintervallet, alltså inte t ex x=3. Jag skulle inte heller sätta in randvärdet x=-1 även om du konstaterat att serien konvergerar där. (Undvik randvärden så långt som möjligt, för där kan obehagliga saker hända.)

Tack för svar!

Jag tar fram konvergensradien genom: $\frac{|x - 1|}{2} < 1 : |x - 1| < 2$ . Radien är alltså 2!

Jag deriverar terminvis och får fram en geometrisk serie $f' (x) = \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x - 1)} + \frac{1}{2} + \frac{x - 1}{4} . . . .$ :

Hmm hur bestämmer jag summan av ovanstående geometriska serie?

När summan är bestämd så ska jag om jag förstår dig rätt sätta in ett tal x som är inom konvergensintervallet t.e.x. x=1?

Har inte summatecken i min dator. Då blir det lite krångligt att skriva tyvärr. Hoppas du kan läsa ändå.

Termen a_k av gradtalet k i den ursprungliga serien är: a_k (x)=(x-1)^k /k*2^k Deriverar du får du a_k´(x)= k*(x-1)^k-1 /k*2^k =0,5* ((x-1)/2)^k-1 Första termen (k=1) i den deriverade serien är alltså 0,5*ett tal upphöjt till 0 =0,5. Varifrån får du de två första termerna i din f´(x)?

Summan S_n av en geometrisk serie med första termen a och kvoten p är S_n = a*(1-pⁿ⁺¹)/(1-p) För att få den oändliga seriens summa låter du p gå mot oändligheten. I din situation är kvoten p = (x-1)/2. Om serien inte ska divergera måste abs(p)<=1. Om p<1 så går pⁿ mot 0 och resultatet för den oändliga seriens summa blir då S= a*/(1-p) = 0,5/(1-(x-1)/2)=f´(x). Den sökta oändliga summan är en primitiv funktion till denna. Förenkla detta uttryck, integrera och bestäm den s k integrationskonstanten c.

Tomten skrev:
Har inte summatecken i min dator. Då blir det lite krångligt att skriva tyvärr. Hoppas du kan läsa ändå.

Termen a_k av gradtalet k i den ursprungliga serien är: a_k (x)=(x-1)^k /k*2^k Deriverar du får du a_k´(x)= k*(x-1)^k-1 /k*2^k =0,5* ((x-1)/2)^k-1 Första termen (k=1) i den deriverade serien är alltså 0,5*ett tal upphöjt till 0 =0,5. Varifrån får du de två första termerna i din f´(x)?

Summan S_n av en geometrisk serie med första termen a och kvoten p är S_n = a*(1-pⁿ⁺¹)/(1-p) För att få den oändliga seriens summa låter du p gå mot oändligheten. I din situation är kvoten p = (x-1)/2. Om serien inte ska divergera måste abs(p)<=1. Om p<1 så går pⁿ mot 0 och resultatet för den oändliga seriens summa blir då S= a*/(1-p) = 0,5/(1-(x-1)/2)=f´(x). Den sökta oändliga summan är en primitiv funktion till denna. Förenkla detta uttryck, integrera och bestäm den s k integrationskonstanten c.

Tack igen!

Här kommer min uträkning:

$a_{k} (x) = \frac{{(x - 1)}^{k}}{k \cdot 2^{k}}$ , $a_{k}' (x) = \frac{k \cdot {(x - 1)}^{k - 1}}{k \cdot 2^{k}} = 0, 5 \cdot \frac{(x - 1)^{k - 1}}{2}$

Första termen k=1 är alltså 0,5.

Summan: $S_{n} = a \frac{(1 - p^{n + 1})}{(1 - p)}$

Summan ska konvergera alltså $p \leq 1$ .

$s = \frac{a}{(1 - p)} = \frac{0, 5}{1 - (\frac{x - 1}{2})} = f ´ (x)$

Förenkling: $\frac{0, 5}{1 - (\frac{x - 1}{2})} = \frac{1}{- x + 3}$

Integrera: $\int_{}^{} \frac{1}{- x + 3} d x = - \ln |- x + 3| + c$

Hmm hur bestämmer jag nu konstanten c? Byter jag x mot 1?

Vad du än byter x mot så är det i den ursprungliga serien du ska sätta in det. Då är x=1 en utmärkt idé, eftersom termerna då blir 0 alltså f(1)=0. Det ger c.

Tomten skrev:
Vad du än byter x mot så är det i den ursprungliga serien du ska sätta in det. Då är x=1 en utmärkt idé, eftersom termerna då blir 0 alltså f(1)=0. Det ger c.

Hmm jag har nog missförstått. Jag sätter alltså in x=1 i vilken serie?

f(x) är den funktion som ges av serien i uppgiftens inledning. Du har fått fram ett uttryck f´(x) och integrerat detta och därigenom fått ett uttryck i form av en ln-funktion för f(x) som innehåller en integrationskonstant c. Nu vill du bestämma c så att din ln-funktion + c blir lika med summan av den givna serien. Konstanten c kan bara ha ett värde, så det räcker att sätta in ett enda x-värde som gör att du lätt kan summera den givna serien. Du har valt att sätta in x=1. Då blir termerna i den givna serien lika med 0 och seriens summa alltså 0. Mycket praktiskt. Du får -ln(abs(3-x)) + c = 0 som ger c=ln 2. Jag ser inga större fel i din strategi men kolla gärna dina räkningar en gång extra.

Tomten skrev:
f(x) är den funktion som ges av serien i uppgiftens inledning. Du har fått fram ett uttryck f´(x) och integrerat detta och därigenom fått ett uttryck i form av en ln-funktion för f(x) som innehåller en integrationskonstant c. Nu vill du bestämma c så att din ln-funktion + c blir lika med summan av den givna serien. Konstanten c kan bara ha ett värde, så det räcker att sätta in ett enda x-värde som gör att du lätt kan summera den givna serien. Du har valt att sätta in x=1. Då blir termerna i den givna serien lika med 0 och seriens summa alltså 0. Mycket praktiskt. Du får -ln(abs(3-x)) + c = 0 som ger c=ln 2. Jag ser inga större fel i din strategi men kolla gärna dina räkningar en gång extra.

Ok nu förstår jag. Tack för all hjälp Tomten! Det uppskattas verkligen!

Hoppas du upptäckte att det blev ett litet fel i min ledning. Det stod: "....låter du p gå mot oändligheten" Det ska naturligtvis stå :"....låter du n gå mot oändligheten" Annars OK hoppas jag.

Tomten skrev:
Hoppas du upptäckte att det blev ett litet fel i min ledning. Det stod: "....låter du p gå mot oändligheten" Det ska naturligtvis stå :"....låter du n gå mot oändligheten" Annars OK hoppas jag.

Hmm kom på en fråga till. Vad blir ett slutet uttryck för f(x)?

Det bör bli: $f (x) = - \ln |- x + 3| + \ln (x + 3) ?$ eller?

Vi var väl överens om att f(x)=-ln(abs(3-x)) + c och att c=ln 2. Var kommer ln(x+3) från? Det är ingen konstant.

Begreppet "slutet uttryck" ter sig mystisk för mig. Det finns slutna mängder (topologi) och slutna utsagor (logik). Ex på en sluten utsaga: "2 är ett rationellt tal" Man kan här avgöra om utsagan är sann eller falsk. Ex på motsatsen "öppen utsaga": x+2=4. Den kan vara sann eller falsk beroende på vilket värde x har. Jfr när man i dagligt tal säger "...det är en öppen fråga...".

Tomten skrev:
Vi var väl överens om att f(x)=-ln(abs(3-x)) + c och att c=ln 2. Var kommer ln(x+3) från? Det är ingen konstant.

Begreppet "slutet uttryck" ter sig mystisk för mig. Det finns slutna mängder (topologi) och slutna utsagor (logik). Ex på en sluten utsaga: "2 är ett rationellt tal" Man kan här avgöra om utsagan är sann eller falsk. Ex på motsatsen "öppen utsaga": x+2=4. Den kan vara sann eller falsk beroende på vilket värde x har. Jfr när man i dagligt tal säger "...det är en öppen fråga...".

Ursäkta menade att f(x)= -ln(abs(3-x))+ln2. ok fråga b) lyder ju skriv ett slutet uttryck för f´(x) som gäller på (1,-3). Hur skulle ett sådant "slutet uttryck" se ut? Är det typ derivatan av f(x) ovan? Jag undrar också hur man tar reda på det naturliga definitionsområdet för f(x)

Mystiken kring ordet "slutet" i det här sammanhanget har inte lättat. En gissning dock: Derivatan f´(x) erhålls ju först som geometrisk serie av deriverade uttryck. En serie kan ju konvergera eller divergera, varför detta uttryck kan ses som öppet. När du sedan summerar den enl formeln för summan av av en geometrisk serie får du en summa. Den kan inte konvergera eller divergera för det är en entydigt angiven funktionl (med en viss definitionsmängd). Den kan då ses som "sluten". Finns det inget i din litteratur som förklarar vad man menar?

Svara

Visa senaste svar