Envariabelanalys: Påstående sant falskt? (Matematik/Universitet)

Hej!

Vad tror du själv? Och viktigast av allt, varför?

Tror gör man i kyrkan.

Enligt analysens huvudsats är:

$\frac{d}{d R} \int_{1}^{R} {(\frac{\sin (x)}{x})}^{2} d x = {(\frac{\sin (R)}{R})}^{2} \geq 0 \forall R$

Vad betyder påståendet? Det är en implikation och sen "beroende på R". Beroende hur? Ska implikationen gälla eller inte?

R är en variabel. Implikationen gäller

Om $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ är en kontinuerlig funktion med $f(x)>0$ för alla $x\geqslant 0$ , så kommer $\int_0^R {f(x)}\,\mathrm{d}x$ att vara strikt växande med avseende på $R$ . Detta är, precis som redan har konstaterats i tråden, en följd av analysens huvudsats.

Men om $f$ är noll någonstans på sin definitionsmängd så gäller det att vara lite försiktig, eftersom integralen då kan råka vara konstant för vissa värden på $R$ (och därmed inte vara strängt växande). Enstaka nollställen är inte ett problem (varför?), men om det finns ett helt intervall där funktionen är noll så fallerar den föreslagna implikationen.

Något som man kan fundera på är vad som händer om $f(x)=0$ för oändligt många värden på $x$ , men inte ett helt intervall. Kommer integralen alltid att vara strikt växande då? Eller kanske aldrigt strikt växande? Eller beror det på? I så fall: vad?

Några exempel att fundera på för att komma igång är fölajde scenarion:

(a) Mägnden av nollställen till $f$ är precis lika med $\mathbb{Z}^+$ .

(b) Mängden av nollställen är precis lika med $\mathbb{Q}^+$ .

(c) Mängden av nollställen är precis $\mathbb{R}^+\setminus\mathbb{Q}$ .

[Notera att det inte finns någon kontinuerlig funktion som uppfyller fall (b) eller (c) (varför?), men kanske kan man hitta på en sådan funktion som i vart fall är integrerbar? Googla exempelvis på "popcorn-funktionen" för inspiration.]

Jag kan direkt säga att jag inte har något fullständigt svar detta på rak arm, men det är lite spännande att fundera på, om man är på analyshumör. ^_^

Men kan man få till det scenariot utan at styckvis definiera den?

Enstaka nollställen är inte ett problem (varför?)

Nu börjar jag tänka på måtteori...

Men jag tror inte att jag har någon rigorös förklaring till det

Visst! Det här har i högsta grad med måtteori att göra.

Funderar man på definitionen av (Riemann-)integralen, så är det ganska enkelt att övertyga sig om att integrandens värde i en (eller för den delen: ett ändligt antal) punkter är helt oväsentligt för integralens värde. Att överyga sig om detta är defintivt en bra övning i envariabelanalys!

Att överyga sig om detta är defintivt en bra övning i envariabelanalys!

Så jag har lyckats med det?

Jag började tänka på det när jag upptäckte att man kunde integrera över "hålet" i sin(x)/x utan problem, det försvinner ju bara en strimla utan area.

Exakt! Vill man vara riktigt formell så får man gå tillbaka till själva definitionen av Riemann-integralen (med trappfunktioner och så vidare, vilket kan vara en nyttig övning), men intuitivt handlar det precis som du säger, att "strimman" över en enda punkt har arean 0.

oggih skrev:
Något som man kan fundera på är vad som händer om $f(x)=0$ för oändligt många värden på $x$ , men inte ett helt intervall. Kommer integralen alltid att vara strikt växande då? Eller kanske aldrigt strikt växande? Eller beror det på? I så fall: vad?

oj, jag vet inte.

Några exempel att fundera på för att komma igång är fölajde scenarion:
(a) Mägnden av nollställen till $f$ är precis lika med $\mathbb{Z}^+$ .
(b) Mängden av nollställen är precis lika med $\mathbb{Q}^+$ .
(c) Mängden av nollställen är precis $\mathbb{R}^+\setminus\mathbb{Q}$ .
[Notera att det inte finns någon kontinuerlig funktion som uppfyller fall (b) eller (c) (varför?), men kanske kan man hitta på en sådan funktion som i vart fall är integrerbar? Googla exempelvis på "popcorn-funktionen" för inspiration.]

vet inte

Det var ett gäng hårda tankenötter det.

oggih skrev:..Googla exempelvis på "popcorn-funktionen" för inspiration.

Jag gjorde just detta och fick fram det här.

Däremot kom jag rätt när jag skrev in popcorn function i engelska Wikipedia.

Haha, ojdå... Dock får jag ändå säga att det låter fantastiskt härligt med en mikrovågsugn utrustad med en dedikerad popcorn-funktion, och med tanke på att popcorn är väldigt bra pluggsnacks, så skulle kanske en sådan mikro indirekt kunna bli en källa till matematisk inspiration? ;)

Men för lite mer specifik inspiration i just det här fallet rekommenderar jag nog ändå i första hand en googling på engelskans "popcorn function".