Envariabelanalys: öppen fråga

Bumpi

bumpo

Jag förstår inte vad funktionen $\varphi(\theta)$ är. Vad menar du med "som ger extrempunkten"?

Den ger alltså extrempunktens x-koordinat. 

Jag kanske borde ha sagt något illustrerande först. Jag tänker mig en (tvådimensionell) skål med en boll i, då jag lutar skålen åker bollen någon annanstans.

Jag förstår att $\varphi(0)=x_0$, men hur definieras funktionen för övriga $\theta$?

Man får derivera implicit och se var var minimat hamnar, låter det inte rimligt? Jag venne varför jag vill introducera en funktion egentligen... Phi är i alla fall kontinuerlig! Jag har inget bevis men det måste vara så

Edit: jag kan definiera den, dröj

Vänta. Nu tror jag att jag hajade. Om vi tar t.ex. en parabel och roterar den kring dess extrempunkt, då vill du att $\varphi(\theta)$ skall beskriva $x$-koordinaten till den lägsta/högsta punkten på den roterade parabeln, eller hur?

Alltså, att $\varphi(\theta)$ skall ge $x$-koordinaten för den blå punkten i följande lilla animation:

Ja! Men den punkten måste inte vara den lägsta, jag kräver bara att derivatan där är noll. Det är viktigt för när theta>pi/2 blir det ett maxima istället.

En annan fråga jag har är om phi ens alltid är en funktion, alltså om det kan uppstå flera extrempunkter efter rotationen.

Edit: din bild illustrerar även vad jag menar med att phis värde märnar sig plus oo då theta går mot pi/2

Edit2: jag höll på att definiera phi på datorn men den fick slut på batteri men jag firtsötter sen

Antag att y=f(x) den har extrempunkt i (0,0). 

$\left\{\begin{array}{l}y=f\left(t\right)\\ x=t\end{array}\right.\stackrel{rot \theta medurs}{\to }\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f\left(t\right)\\ t\end{array}\right]=\left\{\begin{array}{l}\hat{y}=f\left(t\right)\cos \theta -t\sin \theta \\ \hat{x}=f\left(t\right)\sin \theta +t\cos \theta \end{array}\right.$

$0=\frac{dy}{dx}\Rightarrow 0=f\text{'}\left(t\right)\cos \theta -\sin \theta$

Lösningen för t är phis värde för ett visst theta.

${\phi }_f\left(\theta \right)=f{\text{'}}^{-1}\left(\tan \theta \right)$

Intressant frågeställning. Låt oss försöka lösa det matematiskt.

Om vi skall rotera kurvan $y=f(x)$ är det enklast att parametrisera ett kurvstycke med $(t,f(t))$. Den roterade parametriseringen ges genom att multiplicera med rotationsmatrisen:

$\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\-\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t\\f(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\cos(\theta)+f(t)\sin(\theta)\\-t\sin(\theta)+f(t)\cos(\theta)\end{pmatrix}$

Vi vill nu att $y$-koordinaten skall ha ett extremvärde. Vi vill alltså:

$\dfrac{d}{dt}[-t\sin\left(\theta\right)+f\left(t\right)\cos\left(\theta\right)]=0$

$-\sin(\theta)+f'(t)\cos(\theta)=0$

$f'(t)\cos(\theta)=\sin(\theta)$

$f'\left(t\right)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$f'\left(t\right)=\tan(\theta)$

Detta $t$-värde kommer att bero på funktionen och på $\theta$. Låt oss säga att detta $t$-värde ges av en funktion $g(\tan(\theta))$. Observera även att ekvationen kan ha flera lösningar, varför $g$ inte är unik.

Varje funktion $g$ ger upphov till en extrempunkt vars koordinater fås genom att sätta in $t=g(\tan(\theta))$ i $(t\cos(\theta)+f(t)\sin(\theta),-t\sin(\theta)+f(t)\cos(\theta))$. Därigenom blir $\varphi(\theta)$:

$\varphi(\theta)=-g(\tan(\theta))\sin(\theta)+f(g(\tan(\theta)))\cos(\theta)$.

Observera att det kan uppstå fler extrempunkter efter rotation. Tar vi exempelvis $f(x)=x^3$ uppstår två extrempunkter:

Eftersom ekvationen $f'(t)=\tan(\theta)$ har lösningarna $g(\tan(\theta))=\pm\sqrt{\tan(\theta)/3}$.

Jag skulle gissa att det går att motivera att $\varphi(\theta)$ är kontinuerlig på något intervall om $f(x)$ uppfyller vissa villkor, men just nu är jag för trött för att undersöka det närmare.

Så trevligt att vi kom fram till ungefär samma. Det har väl att göra med f' inverterbarhet. Om f' är inverterbart på hela definitionsmängden av f så kan f bara ha en extrempunkt under hela rotationen för att phi är en funktion då.

Derivatan av x^2 är strikt växande och inverterbar på hela R. x^3 blir inte det. Mm vilket intressant resultat.

För skoj skull ritade jag ut vägen punkten följer när vi roterar parabeln $y=x^2$.

Här har jag även ritat ut funktionen $\varphi(\theta)$ i bakgrunden, med $\theta$ på $x$-axeln och $\varphi(\theta)$ på $y$-axeln.

@Qetsiyah: Riktigt kul frågeställning, som vanligt.

@AlvinB: Hur har du gjort de här animationerna?

oggih skrev:

@Qetsiyah: Riktigt kul frågeställning, som vanligt.

@AlvinB: Hur har du gjort de här animationerna?

Först ritade jag upp alltsammans i desmos (i princip allt går att rita med parametriseringar och lite fnul).

Sedan använde jag Chrome-tillägget Awesome Screenshot (som också kan göra mycket annat!) för att spela in en film med animationen.

Därefter använde jag ezgif.com för att klippa och beskära filmen och sedan omvandla till GIF-format. Till sist använde jag imgur för att lägga in GIF-bilden här på PA. (Den inbyggda uppladdningsfunktionen verkar inte gilla rörliga GIF-bilder..)