Envariabelanalys - Omskrivning av definitiv integral

Varför är det inte matematiskt korrekt att göra omskrivningen jag gjort enligt bilden? Den ursprungliga integralen ger svaret 8R medan jag får ut 0 vid evalueringen av den nya integralen.

Jag misstänker att felet jag gör är när jag skriver om sin(x) i termer av t så förlorar jag "minus-delen" av sin(x). Jag tror alltså att den första omskrivningen är okej medan den andra är orsaken till att jag får fel svar vid evalueringen.

Har du ritat upp integralen så att du ser hur den ser ut? Att rita bör alltid vara första steget när man skall lösa en integral.

Vad har a och b för värden?

Hej!

När man gör ett variabelbyte $t = f(x)$ så gäller det att se till att funktionen $f$ är strängt monoton (så att den har en invers). Som du vet så har funktionen $\cos(x)$ inte någon invers på intervallet $[0,2\pi]$ . Däremot har den det på intervallet $[0,\pi]$ (där cos-funktionen är avtagande) och på intervallet $[\pi,2\pi)$ där den är växande.

Albiki

Hej!

Det du behöver göra är att skriva integralen som en summa av två integraler.

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\cos x}\,\text{d}x = \int_{0}^{\pi}\sqrt{1-\cos x}\,\text{d}x+\int_{\pi}^{2\pi}\sqrt{1-\cos x}\,\text{d}x$ .

Hantera de två integralerna separat.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
När man gör ett variabelbyte $t = f(x)$ så gäller det att se till att funktionen $f$ är strängt monoton (så att den har en invers). Som du vet så har funktionen $\cos(x)$ inte någon invers på intervallet $[0,2\pi]$ . Däremot har den det på intervallet $[0,\pi]$ (där cos-funktionen är avtagande) och på intervallet $[\pi,2\pi)$ där den är växande.
Albiki

Perfekt! Där lärde jag mig något nytt. Tack! Den "satsen" är ju väldigt viktig men jag ser inte att den nämnts överhuvudtaget i min kurslitteratur. Men då läser jag också på en teknisk högskola som vi alla vet hoppar övar viktiga delar. *Suck*

Svara

Visa senaste svar