Envariabelanalys - Inversen till f(x) = sinx, x =

Hej! Jag håller på med denna fråga som jag inte kan lösa

Frågan tyder: Är F(x) = arcsin + 2pi, x = [-1, 1] inversen till f(x) = sinx, x = [3pi/2, 5pi/2]?

Jag har ritat upp funktionerna och F verkar vara spegelbilden till f på y = x och därför tror jag att F är inversen till f. Dessutom så är definitionsmängden av f samma som värdemängden av F och definitionsmängden av F samma som värdemängden av f.

Men ett problem uppstår med (Fof)(x). Det är inte lika med x som det borde vara när det gäller inversa funktioner. Alltså:

(Fof)(x) = F(f(x)) = arcsin(sinx) + 2pi = x + 2pi

Är F inte inversen till f? Eller vad händer?

Tack på förhand!

Bra iakttagelse! Jag skulle påstå att den föreslagna funktionen inte är inversfunktionen. Egentligen tror jag att man behöver skapa en lite knepigare funktion för att få med inversegenskapen.

Ah, liten grej jag just insåg. $\arcsin x$ avbildar ju bara på mängden $[-\pi/2, \pi/2]$ . Så det kanske stämmer ändå. "Yttervärdena" stämmer ju i alla fall.

Men måste inte (Fof)(x) vara lika med x för att F ska vara inversen av f?

Den är ju det. Exempelvis då $\displaystyle x=\frac{3\pi}{2}$ :

$\displaystyle\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{2}\right)+2\pi = -\frac{\pi}{2}+2\pi = \frac{3\pi}{2}$

Du kanske tänker att $\arcsin x$ är inversen till $\sin x$ men det stämmer inte riktigt. Det är lite av en halvsanning.

Jahaaa! Ja det var det jag tänkte, tack för svaret!

Visa att funktionen ̈ar inverterbar. Ange inversens definitionsm ̈angd ochv ̈ardem ̈angd

Svara

Visa senaste svar