Envariabelanalys: generaliserad integral

Hej!

Jag sitter fast på följande uppgift. Jag skall beräkna följande generaliserade integral

$\int_{1}^{\infty} \frac{\ln (2 x - 1)}{x^{2}} d x$ och enligt facit skall svaret vara $2 \ln (2)$ .

Jag har börjat med att skriva om det hela till $\int_{1}^{\infty} x^{- 2} \ln (2 x - 1) d x$ och sedan partialintegrerat till $[- \frac{\ln (2 x - 1)}{x}] + \int_{1}^{\infty} \frac{2}{x (2 x - 1)}$ . Min tanke var att sedan partialbråksuppdela den andra termen såsom tipsats i en gammal tråd på pluggakuten, men någonstans i försöket degenererar det hela ned till något som inte alls liknar facit. Jag skulle därför behöva lite vägledning för att komma vidare.

Tack på förhand!

Du är på helt rätt väg.
Visa oss ditt försök att partialbråksuppdela så ska vi se efter om/var det gick snett.

Tack för snabbat svar.Mina tankar går såhär:

$\frac{2}{x (2 x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(2 x - 1)}$ där jag efter kort ekvationsystem får det hela till $\frac{4}{2 x - 1} - \frac{2}{x}$ . Varvid den andra termen i ekvationen i första inlägget skrivs om till $\int_{1}^{\infty} \frac{4}{2 x - 1} + \frac{2}{x} d x = 2 \int_{1}^{\infty} \frac{2}{2 x + 1} + \frac{1}{x} d x = 4 \int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x + 1} d x + 2 \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$ .

Om jag nu integrerar varje term för sig får jag $4 [2 \ln (2 x + 1)] + 2 [\ln x]$ , men tillsammans med första termen i första inlägget och dessa lyckas jag inte navigera fram till facit.

Den första termen i det första inlägget kan du visa blir lika med noll.

Att dela upp den andra termen i två delar är bra, men dela inte upp den i två integraler.
Integrera summan så att båda delarna hamnar inom samma hakparenteser.

Du har även tappat minustecknet i den andra termen.

Jag är ledsen men jag är fast här.

Bli alltså $\lim_{x \to \infty} - \frac{\ln (2 x - 1)}{x} = 0 ?$ Då blir alltså första termen noll. Jag förstår inte riktigt detta då jag inte får det till standardgränsvärdet $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ . Vad missar jag här?

Om vi då tittar på andra termen så har jag då (om jag rättar till minustecken) $\int_{1}^{\infty} \frac{4}{2 x - 1} - \frac{2}{x} d x$ . Är det rätt så långt? Enligt facit skall detta alltså bli 2ln(2). Om jag går vidare så har jag $2 \int_{1}^{\infty} \frac{2}{2 x - 1} - \frac{1}{x} d x = 2 [\ln (2 x - 1) - \ln (x)]$ . Efter detta får jag inte ihop det.

För den andra termen bör du komma ihåg de Logaritmiska identiteterna.
Särskilt den om en logaritm minus en annan.

För den första termen kan du göra följande variabel substitution: $u = 2 x - 1$

Sen kan du faktorera ut termen $\frac{\ln (u)}{u}$ och visa att det som är kvar har ett finit gränsvärde.

Nu fick jag ihop det!

Andra termen blev $2 [\ln \frac{2 x - 1}{x}]$ där jag med lite variabelbyte fåt ut rätt svar = 2ln(2). Lyckades med ditt tips även reda ut varför den första termen blir 0.

Tusen tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar