Envariabelanalys - bevisa addititivet för gränsvärden

Rackarns, min telefon dog precis innan jag skulle posta mitt svar...

När du säger "borde medföra att", så är det lite oklart. Du vet inte a priori att du kan hitta ett sådant delta för f(x)+g(x), utan det du ska bevisa är att givet något fixt epsilon, så finns det ett delta sådant att...

Notera att för ett givet epsilon, så kan du hitta delta_1 sådant att |x-x0|<delta_1 medför |f(x)-L|<epsilon, men detta delta_1 är inte nödvändigtvis samma för g(x) och samma epsilon.

Borde jag inte bara kunna välja det $\delta$ som är mindre av de två? Om jag vet att $\displaystyle |x-a|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\epsilon$ samt att $\delta_2 < \delta_1$, så borde det väl också gälla att $\displaystyle |x-a|<\delta_2 \implies |f(x)-L|<\epsilon$?

Testa!

När jag testar numeriskt verkar det stämma. Låt säga att vi undersöker gränsvärdet i punkten $x=2$ för funktionen $f\left(x\right) = x^2$ och att vi väljer $\epsilon = 1/2$. Då måste vi hitta ett $\delta$ sådant att $|x^2-4| < 1/2$. Om vi väljer t.ex. $\delta = 1/100$ funkar det. Och vi kan ju alltid välja ett mindre och mindre $\delta$, och fortfarande ha att det medför $|x^2-4| < 1/2$. Så om man hittar ett $\delta$ för ett givet $\epsilon$, kan man alltid göra sitt $\delta$ mindre.

Stämmer den slutsatsen?

Rent grafiskt vill vi ju ligga på kurvan mellan dessa horisontella gränser:

Och det kan man ju göra med oändligt många $\delta$ under en viss gräns.

Ja, eftersom |x-x0| < d ==> |x-x0| < d' för alla d' >= d. Men det jag tänkte på var att givet ett epsilon kan du hitta d1 och d2 sådana att |f-L|<epsilon/2 för det första, och |g-M|<epsilon/2 för det andra. Och så kan du ju ta d = min{d1, d2} och dra slutsatsen att när |x-x0|<d, så är |f(x) - L| + |g(x) - M| < epsilon/2 + epsilon/2. Det var så jag tänkte.

Kan tyvärr inte skriva riktiga ekvationer från telefonen, hoppas det är läsbart ändå.

Och så kan du ju ta d = min{d1, d2}

Jo precis, om jag förstår notationen rätt var det precis dit jag ville komma. Det vi säger här är väl i princip att vi väljer ut det minsta av $\delta_1$ och $\delta_2$ och sätter det som vårt nya $\delta$?

Japp, för det mindre av de två så gäller båda olikheterna så då kan du köra triangelolikheten och avsluta beviset.

Okej, så ett nytt försök:

Låt $\epsilon\in\mathbb{R}_{>0}$ och låt $\epsilon = \epsilon'/2$. Vi har således att:

$\displaystyle \left|x-a\right|<\delta_1 \implies \left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon'/2\;\;(1)$

$\displaystyle \left|x-a\right|<\delta_2 \implies \left|g\left(x\right)-M\right|<\epsilon'/2\;\;(2)$

Låt $\displaystyle \delta = \min\{ \delta_1,\delta_2 \}$

Detta ger sammantaget $(3)$:

$\displaystyle \left|x-a\right|<\delta \implies \left|f\left(x\right)-L+g\left(x\right)-M\right| \le \left|f\left(x\right)-L\right|+\left|g\left(x\right)-M\right|<\epsilon' \;\;(3)$

Detta innebär med andra ord att:

$\displaystyle \displaystyle \left|x-a\right|<\delta \implies \left|f\left(x\right)-L+g\left(x\right)-M\right| <\epsilon'$

Eftersom $\epsilon$ kan väljas godtyckligt kan även $\epsilon'$ väljas godtyckligt. Således har vi utifrån $(1)$ och $(2)$ att:

$\displaystyle \left(\forall \epsilon\in\mathbb{R}_{>0}\right)\left(\exists\delta\in\mathbb{R}_{>0}\right)\left(\forall x\in D\right)\left[\displaystyle \left|x-a\right|<\delta \implies \left|f\left(x\right)-L+g\left(x\right)-M\right| <\epsilon\right]$

$\blacksquare$

Ser det bra ut nu? :D

Ja, fast du behöver inte blanda in en ny variabel $\epsilon \text{'}$. Enligt definitionen av gränsvärde kan du hitta ett delta för varje positivt reellt tal. Så i detta fall använder vi definitionen på f och g var och en, där vi väljer vi talet $\epsilon /2$ och får då två olika delta. Det är helt korrekt det du skrivit, det är bara att du slipper argumentet att "eftersom $\epsilon$ kan väljas godtyckligt, kan även $\epsilon \text{'}$ väljas godtyckligt" om du gör så.

Hur ska man egentligen hantera x=a? Hur blir det när man gör som du nu, dvs typ ignorerar det?

Annars borde man väl sätta 0<abs(x-a)<delta alternativt ta ut a från (D\{a})?

Vår föreläsare tar ut a från D och i kursboken (Analys i en variabel. Persson och Böiers.) pratar de om lite olika varianter men förstår inte riktigt skillnaden. Har ni några tankar?

alternativt ta ut a från (D\{a})?

Japp, i mitt huvud hade jag redan gjort det men tydligen inte på pappret.

Det som gör det lite förvirrande ibland är att $\epsilon$-$\delta$-kriteriet för kontinuitet är identiskt men utan kravet att $x≠a$. Så ibland skriver man på rent muskelminne och då blir det så här!

Ja, det är egentligen rimligare att utesluta x=a ur definitionen som du skriver. Annars antar man att funktionen är kontinuerlig i x=a, vilket inte behöver vara fallet. Till exempel behöver f inte vara definierad i x=a även om gränsvärdet existerar.

Okaj. Och att ta ut från D eller sätta avståndet till a strikt större än 0 är samma sak?

Ja.