Envariabelanalys: avgör om generaliserade integralerna är konvergenta eller divergenta

Finns det andra sätt att lösa den? Jag vet dessutom inte vilka klassiska integraler/trigonometriska formler man ska kunna för envarren.

flippainte skrev:

Hur går sinx/x till 1 om x går mot 0? 

Det är ett standardgränsvärde som man förväntas känna till.

Okej tack, jag undrar hur man löser de andra? Hur vet man att x>1 så gäller följande och x>0 på sista? Hur vet man vad man ska sätta x större eller lika med vad? 

Till att börja med: Förstår du resonemanget i lösningarna?

Dvs att de visar att integranden är större/mindre än ett annat uttryck i ett intervall och att det leder till att integralen är divergent/konvergent?

Hur man sedan kommer fram till dessa olikheter är nog mest en vanesak tror jag.

För min egen del var det så länge sedan jag läste envarre så den förmågan har jag tappat.

Lös jättemånga liknande uppgifter så lär du dig att se mönstren, precis som med i stort sett all annan matematik.

Nej jag fattar inte hur man vet bara från det att den är konvergent eller divergent utan att lösa ut integralen.

Förstår helt enkelt inte hur man ska bemöta dessa typer av frågor, det känns som att alla besvaras olika och då får man fel svar.

För den här typen av uppgifter brukar man använda det som kallas jämförelsekriteriet för generaliserade integraler:

Antag att funktionerna  $f$ och $g$ är kontinuerliga på ett halvöppet intervall $[a,b[$ samt att $0\leq f\leq g$ på detta intervall. Då gäller att:

$\int_a^b f(x)\,dx$ är konvergent, om $\int_a^b g(x)\,dx$ är konvergent
$\int_a^b g(x)\,dx$ är divergent, om $\int_a^b f(x)\,dx$ är divergent.

Vi ska alltså försöka jämföra funktionen vi undersöker med en annan funktion som vi vet mer om.

I uppgift 2 misstänker vi att integralen är divergent, men vi vet inte säkert. Därför väljer vi att försöka jämföra funktionen $g(x)=\frac{2+\sin(x)}{1+x}$ med en mindre funktion $f(x)$ som vi vet divergerar.

För att hitta en lämplig jämförelsefunktion $f(x)$ måste vi använda kreativitet, list och erfarenhet.

En funktion som alltid är mindre än eller lika med $g(x)$ är

$\frac{1}{1+x}\leq g(x)$

Om man vill kan man sedan som facit gå vidare och göra f(x) än mindre, åtminstone på intervallet $x>1$. Men man kan också direkt räkna ut den nya integralen och visa att den blir divergent. Använd substitutionen $t=1+x$

$\int_0^\infty f(x)\,dx=\int_0^\infty \frac{1}{1+x}\,dx=\int_1^\infty \frac{1}{t}\,dt\to \infty$

Nu har vi visat att även $g(x)$ måste divergera eftersom $f(x)$ är MINDRE än  $g(x)$ på hela integrationsintervallet samtidigt som $\int_0^\infty f(x)\,dx\to \infty$

En visuell illustration av det D4NIEL förklarar i inlägget ovan:

Varför misstänker man att integralen divergerar? Liksom hur kan man ens bara förstå det bara av att kolla på den? Jag hade jämfört 2 + sinx ≤ 3 och jämfört integralen på så vis. Är det fel?

Det ger ju samma svar alltså infinite, som är divergent men är det fel sätt att lösa? 

Jag jämförde även den sista med att sinx varierar mellan -1 och 1 för att få e^-x+1 och fick då svaret 0 för att det blev e^-R som är 0. Funkar det?

flippainte skrev:

Varför misstänker man att integralen divergerar? Liksom hur kan man ens bara förstå det bara av att kolla på den? Jag hade jämfört 2 + sinx ≤ 3 och jämfört integralen på så vis. Är det fel?

För att visa att integralen divergerar måste du jämföra med en mindre funktion vars integral divergerar. 3 är ju en större funktion.

jag förstår det men hur ska man veta vad man ska jämföra med? En större eller mindre funktion bara av att kolla på givna integralen? 

Ibland vet man inte det, då får man chansa. Om man har fel kommer det inte gå att visa hur mycket man än försöker.

Då får man välja det andra alternativet.

Men om du räknar några tal kommer du få lite känsla för vilka funktioner som avtar tillräckligt snabbt och vilka som inte gör det. Du kommer också få det lättare att veta vilka kända funktioner som kan vara rimligt enkla att jämföra med.

Om jag jämför med sinx + 1 med 3 då blir den större men när jag tar integral så ligger 3an före integralen och det blir integral av 1/1+x som är mindre än sinx+1 precis som D4ANIEL har visat ovan. 

Ja, men det är alltså viktigt att du väljer en funktion som ligger under det du vill visa divergerar

Notera hur $\frac{1}{1+x}$ hela tiden ligger under funktionen

När vi har visat att integralen av funktionen som hör till den blå linjen divergerar har vi samtidigt visat att den gröna och den gula funktionen också måste divergera eftersom de hela tiden ligger ÖVER den funktion vi vet divergerar.

I din sista uppgift jämför du funktionerna så här:

Här ligger $e^{-x+\sin(x)}$ hela tiden under $e^{1-x}$ och det går att visa att

$\displaystyle\int_0^{\infty}e^{1-x}\,dx=e$

Eftersom vår funktion (den blå) hela tiden ligger under en funktion vars integral vi visat konvergerar (den gula) så måste den blå funktionen också konvergera.

Alltså:

• När vi vill visa att en integral divergerar jämför vi med en mindre funktion som också divergerar. Jämförelsefunktionens graf måste hela tiden ligga underst.
• När vi vill visa att en integral konvergerar jämför vi med en större funktion som också konvergerar. Jämförelsefunktionens graf måste hela tiden ligga överst.

Jag förstår, jag har lite problem med a) vad är c? och finns det alternativt sätta att visa att är divergent? Jag fattar inte hur de gjort alls eller motiverat. 

flippainte skrev:

Jag förstår, jag har lite problem med a) vad är c? och finns det alternativt sätta att visa att är divergent? Jag fattar inte hur de gjort alls eller motiverat. 

Hjälper detta svar dig?