Envariabel Analys - Visa olikhet

Hur skulle du lösa det om det var en ekvation?

Multiplicera båda sidor med x-1.

Laguna skrev:

Hur skulle du lösa det om det var en ekvation?

Multiplicera båda sidor med x-1.

Då får jag $x-2\le x-1$som förenklat blir till $x-1 \le x$.

Jag förstår inte riktigt vad det är jag visat då? Hur har jag visat det originella olikheten?

Om du tänker dig vänsterledet som ett funktionsuttryck kan du derivera och finna en extrempunkt, kolla om detta är en minimipunkt eller maximipunkt samt notera vilket funktionsvärde som x-värdet ger

Obs! Upptäckte precis att jag slarvat. Det ska stå (x-2)^2/(x-1)=< 0. felet är rättat nu!

Midnattsmatte skrev:

Om du tänker dig vänsterledet som ett funktionsuttryck kan du derivera och finna en extrempunkt, kolla om detta är en minimipunkt eller maximipunkt samt notera vilket funktionsvärde som x-värdet ger

Tack! ska ge detta ett försök.

Midnattsmatte skrev:

Om du tänker dig vänsterledet som ett funktionsuttryck kan du derivera och finna en extrempunkt, kolla om detta är en minimipunkt eller maximipunkt samt notera vilket funktionsvärde som x-värdet ger

Efter att ha deriverat och förenklat får jag fram derivatan $\frac{x(x-2)}{{(x-1)}^2}$

Efter att ha gjort en teckentabell får jag $\begin{array}{cccccc}& & 0& & 1& \\ x& -& 0& +& +& +\\ {(x-1)}^2& +& +& +& 0& +\\ x-2& -& -& -& -& -\\ f´\left(x\right)& -& 0& -& 0& -\\ f\left(x\right)& \ddots & terasspunkt& \ddots & terasspunkt& \ddots \end{array}\begin{array}{cc}2& +\\ +& +\\ +& +\\ 0& +\\ 0& +\\ min& ⋰\end{array}$

Hur kan jag tolka detta? att minvärdet vid x = 2 ger oss funktionsvärdet = 4 på x^2/x-1 >= 4? vad säger det mig=

Du kan tolka det som att x = 2 är den enda extrempunkten i definitionsmängden (alltså där x > 1) och då du fått fram att det är en minimipunkt betyder det att f måste vara lika med eller större än 4 för alla x > 1, men då f är uttrycket vars värde du vill visa är större än eller lika med 4 så har du med detta visat olikheten som var uppgiften från början

Midnattsmatte skrev:

Du kan tolka det som att x = 2 är den enda extrempunkten i definitionsmängden (alltså där x > 1) och då du fått fram att det är en minimipunkt betyder det att f måste vara lika med eller större än 4 för alla x > 1, men då f är uttrycket vars värde du vill visa är större än eller lika med 4 så har du med detta visat olikheten som var uppgiften från början

Jag hajar någorlunda, men jag tänker hur har jag visat att olikheten gäller för exempelvis x = 1.1? osv ända fram till 2?

Då du har visat att den enda extrempunkten i hela definitionsmängden är en minimipunkt har du visat att funktionen (och därmed uttrycket i olikheten) antar sitt minsta möjliga värde då x = 2, och detta minsta möjliga värde är alltså ändå större än eller lika med 4, då det är 4.

Teckentabellen visar att f till vänster om x = 2 avtar, men detta medför ju att f måste ha ett större värde än 4 då 1 < x < 2 eftersom du redan vet att f aldrig blir mindre än 4. 

Om du skriver in uttrycket i exempelvis desmos tror jag att det kommer bli tydligare för dig

Midnattsmatte skrev:

Då du har visat att den enda extrempunkten i hela definitionsmängden är en minimipunkt har du visat att funktionen (och därmed uttrycket i olikheten) antar sitt minsta möjliga värde då x = 2, och detta minsta möjliga värde är alltså ändå större än eller lika med 4, då det är 4.

Teckentabellen visar att f till vänster om x = 2 avtar, men detta medför ju att f måste ha ett större värde än 4 då 1 < x < 2 eftersom du redan vet att f aldrig blir mindre än 4. 

Om du skriver in uttrycket i exempelvis desmos tror jag att det kommer bli tydligare för dig

aaaaaaaah nu förstår jag precis hur det faktumet att det är en minpunkt är kopplat till att olikheten är bevisat. Tack så hemskt mycket för hjälpen @Midnattsmatte. Den var helt ovärdelig!!!

Du har att $\frac{x^2}{x-1}-4$ = $\frac{{\left(x-2\right)}^2}{x-1}$.

Om x är större 1 så är $\frac{{\left(x-2\right)}^2}{x-1}$ uppenbarligen större än eller lika med 0 (om a $\ge$ 0 och b > 0 så är a/b $\ge$ 0).

Således är $\frac{x^2}{x-1}-4\ge 0$, om x > 1, vilket är ekvivalent med $\frac{x^2}{x-1}\ge 4$, då x > 1.