Envariabel analys - Linjära differentialekvationer av högre ordning - ansats av partikulärlösning

Hej!

Jag har denna diffekvation jag försöker lösa:

$y'' + y = x \cos (x)$ .

Genom den karakteristiska ekvationen har jag räknat ut att den homogena lösningen ser ut som följande:

$y_{h} = A \cos (x) + B \sin (x)$

När det gäller partikulärlösningen, så är jag kluven, förvirrad, och kanske till och med lite rädd. Jag vet inte vad för ansats jag ska använda mig av. För x hade jag kunnat använda mig av partikulärlösningen $y_{p} = C x^{2} + D x + E$

och för $\cos (x)$ kan jag använda mig av $F \cos (x) + G \sin (x)$ .

Men när det är både x och cos(x) gånger varandra så har jag ingen aning om vad jag ska göra. Kan någon snälla hjälpa?

Tack på förhand.

//Shorbaw

Du har ett polynom av grad 1 gånger en trig.

Första tanken blir

x• ((Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx) = (Ax^2+Bx)cosx +(Cx^2+Dx)sinx

Anledningen till att du måste multiplicera in ett ”extra” x beror på att den måste vara oberoende av den homogena lösningen.

jamolettin skrev:
Du har ett polynom av grad 1 gånger en trig.

Första tanken blir

x• ((Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx) = (Ax^2+Bx)cosx +(Cx^2+Dx)sinx

Anledningen till att du måste multiplicera in ett ”extra” x beror på att den måste vara oberoende av den homogena lösningen.

Du har helt rätt, det blir något i den stilen. Jag hittade en annan lösning igår kväll, och tänkte uppdatera tråden idag. Även fast din partikulärlösning är helt legitim, kan man även skriva om cos(x) som $R e (e^{i x})$ . Det kan potentiellt vara enklare, för då kan man skriva partikulärlösningen som $z (x) e^{i x}$

Vilket kan förenkla derivering, speciellt med tanke på att det då går att använda sig av förskjutningsregeln. Tackar ödmjukast för hjälpen!

Svara