Envariabel Analys - Gränsvärde med absolutbelopp

Hej!

Det finns ett gränsvärde som jag ska bestämma vilket visar sig vara svårare än vad trodde.

$l i m x \to \infty \frac{3^{x} + \ln |x|}{x^{5} + x^{4}}$

Då x -> inf vet jag att värdet på absolutbeloppet kommer endast vara positivt eftersom vi kommer bara hantera positiva tal.

Det första jag gör är att bryta ut den dominerande termen från både täljaren och nämnaren.

Då får jag: $l i m x \to \infty \frac{3^{x} (1 + \frac{\ln |x|}{3^{x}})}{x^{5} (1 + \frac{1}{x})}$ . Här kör det dock tyvärr fast. Jag vet inte hur jag ska bli av med de dominerande termerna. Ett standardgränsvärde som är någorlunda likt är $\frac{x^{α}}{a^{x}} \to 0 d å x \to \infty$ om konstanten a (den i nämnaren) >0.

Jag vet dock inte hur jag ska uppnå detta. Tack på förhand för hjälp!

//Shorbaw

Ser inte varför du inte skulle kunna göra som du gör.

Uttrycket du har där kan beskrivas som $\lim_{x \to \infty} \frac{3^{x}}{x^{5}}$ (eftersom $3^{x} > \ln x f ö r s t o r a t a l$ )

Detta uttrycket kommer gå mot oändligheten. Vad säger facit?

ItzErre skrev:
Ser inte varför du inte skulle kunna göra som du gör.

Uttrycket du har där kan beskrivas som $\lim_{x \to \infty} \frac{3^{x}}{x^{5}}$ (eftersom $3^{x} > \ln x f ö r s t o r a t a l$ )

Detta uttrycket kommer gå mot oändligheten. Vad säger facit?

Du har helt rätt. Den delen förstår jag, nämligen att vi kommer att få $\lim_{x \to \infty} \frac{3^{x}}{x^{5}}$ då uttrycken vi har inom paranteserna kommer gå mot (1 + 0) både i täljaren och nämnaren.

Andra delen har jag dock svårt att förstå. Facit säger, precis som du, att svaret är oändligheten. Jag ser dock inte att $\lim_{x \to \infty} \frac{3^{x}}{x^{5}}$ går mot oändligheten. Båda uttrycken går ju mot infinity/infinity så som jag ser det?

Exponentialfunktioner växer mycket snabbare, det medför att för stora x så är 3^x extremt mycket större. Prova rita en graf och övertala dig själv

Generellt sätt gäller det att om vi har a^x där a inte är mellan (0,1) och x>0 så kommer a^x döda x^n oavsett n förr eller senare.

Med andra ord, x^n/a^x går alltid mot 0 när x går mot oändligheten.

Dracaena skrev:
Exponentialfunktioner växer mycket snabbare, det medför att för stora x så är 3^x extremt mycket större. Prova rita en graf och övertala dig själv

Generellt sätt gäller det att om vi har a^x där a inte är mellan (0,1) och x>0 så kommer a^x döda x^n oavsett n förr eller senare.

Med andra ord, x^n/a^x går alltid mot 0 när x går mot oändligheten.

Det är fullt rimligt det du skriver och vid eftertanke är det sjävklart att 3^x växer snabbare än x^5. Dock så är svaret i facit $\infty$ , så jag tänker mig att 3^x växer så mycket snabbare än x^5 att hela uttrycket 3^x/x^5 går mot oändligheten?

Ja, därför du kommer ha Mycket stort/litet och detta blir ju något stort!

@ItzErre och @Dracaena, Tusen tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar