Enklare sätt att lösa ut stångkrafter?

Hej, har kommit till denna uppgift där man till att börja med måste beräkna stångkrafterna N. Jag är rätt säker på att min lösningsgång är korrekt men har märkt att det blir väldigt mycket variabler att hålla koll på i slutet när jag försöker lösa ut N₃, tror dessutom det blivit fel. Jag undrar om det finns någon annan metod jag kunde använt i slutet som skulle göra lösningen snabbare?

Svaret för N₃ är här för den som undrar:

Vilken elak uppgift! Verkligen en sådan som inte testar din förståelse för hållfasthetslära utan bara algebra vilket knappast är relevant 2019.

Hursomhelst, innan jag börjar ge dig tips. Är du säker på att du skrivit av uppgiften rätt? Kan du ta med en bild på uppgiften eller länka till den?

Edit: Jag hittade den i häftet du länkade. Jag tittar efter där.

Ebola skrev:
Vilken elak uppgift! Verkligen en sådan som inte testar din förståelse för hållfasthetslära utan bara algebra vilket knappast är relevant 2019.
Hursomhelst, innan jag börjar ge dig tips. Är du säker på att du skrivit av uppgiften rätt? Kan du ta med en bild på uppgiften eller länka till den?

Absolut!

Som du ser i uppgiftsbeskrivningen så har de tre olika förhållanden mellan areorna du kan räkna med. Börja med a) där areorna är samma och se om din lösningsmetodik ger rätt svar. Detta kommer berätta för dig att du har rätt deformationssamband, jämviktsekvationer osv. Det är inte förrän i c) jag skulle påstå att det ens behövs ett generellt samband så som du sökte här.

Om du är intresserad kan jag visa dig ett enkelt sätt att ta fram de generella sambanden där alla areor är olika men tills dess kan du räkna med så som det är angett i a) och b). Vad får du då?

Ebola skrev:
Som du ser i uppgiftsbeskrivningen så har de tre olika förhållanden mellan areorna du kan räkna med. Börja med a) där areorna är samma och se om din lösningsmetodik ger rätt svar. Detta kommer berätta för dig att du har rätt deformationssamband, jämviktsekvationer osv. Det är inte förrän i c) jag skulle påstå att det ens behövs ett generellt samband så som du sökte här.
Om du är intresserad kan jag visa dig ett enkelt sätt att ta fram de generella sambanden där alla areor är olika men tills dess kan du räkna med så som det är angett i a) och b). Vad får du då?

Smart! Insättning av A i ekvationen jag har längst ner till vänster i första bilden i samband med de två jämviktsekvationerna ger rätt värden på alla N. Detta bekräftar att deformationssambandet och jämviktsekvationerna är korrekta då eller hur? Blev dock fel i det komplicerade uttrycket för N₃ alltså gjorde jag något algebraiskt fel.

Ser gärna det enklare sättet att ta fram generella samband om du känner för det.

Absolut! Det bekräftar att du gjort rätt. Sedan kan jag också säga att du har gjort helt rätt.

När det kommer fram till att hantera sådana här problem med många variabler är det alltid bra att hitta sätt att reducera eller förenkla. Ett tips för dig om du ska jobba med den här typen av algebra igen är att försöka ha kvar bråk med areorna och kalla dem:

$\{\begin{matrix} α = \frac{A_{1}}{A_{2}} \\ β = \frac{A_{1}}{A_{3}} \\ γ = \frac{A_{2}}{A_{3}} \end{matrix}$

Då blir det mindre plottrigt och enklare att räkna. Detta ger att vi har följande ekvationssystem:

$\{\begin{cases} N_{1} - 2 α N_{2} + β N_{3} = 0 \\ N_{1} + N_{2} + N_{3} = Q \\ 0 + N_{2} + 2 N_{3} = \frac{4}{3} Q \end{cases}$

För att lösa detta gör jag en matris och löser den med radreducering. Vi får då följande utökade matris:

$[\begin{matrix} 1 & - 2 α & β \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{4}{3} Q \end{matrix}]$

Denna reduceras till trappstegsform i relativt få steg och ger svaren som söks.

Visa spoiler

$[\begin{matrix} 1 & - 2 α & β \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{4}{3} Q \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & - 2 α & β \\ 0 & 1 + 2 α & 1 - β \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{4}{3} Q \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & - 2 α & β \\ 0 & 1 + 2 α & 1 - β \\ 0 & 0 & 2 - \frac{1 - β}{1 + 2 α} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{4}{3} Q - \frac{Q}{1 + 2 α} \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & - 2 α & β \\ 0 & 1 + 2 α & 1 - β \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{\frac{4}{3} Q - \frac{Q}{1 + 2 α}}{2 - \frac{1 - β}{1 + 2 α}} \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & - 2 α & β \\ 0 & 1 + 2 α & 1 - β \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{Q}{3} \frac{4 (1 + 2 α) - 3}{2 (1 + 2 α) - (1 - β)} \end{matrix}]$

Detta ger enkelt att :

$N_{3} = \frac{Q}{3} \frac{1 + 8 \frac{A_{1}}{A_{2}}}{1 + 4 \frac{A_{1}}{A_{2}} + \frac{A_{1}}{A_{3}}} = \frac{Q}{3} \frac{8 A_{1} A_{3} + A_{2} A_{3}}{A_{1} A_{2} + A_{1} A_{3} + A_{2} A_{3}}$

För att hitta övriga krafter krävs helt enkelt att bara kolumnerna byts följt av likadana radoperationer:

$[\begin{matrix} 1 & - 2 α & β \\ 0 & 1 + 2 α & 1 - β \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{4}{3} Q \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & β & - 2 α \\ 0 & 1 - β & 1 + 2 α \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{4}{3} Q \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & β & - 2 α \\ 0 & 1 - β & 1 + 2 α \\ 0 & 0 & 1 - 2 \frac{1 + 2 α}{1 - β} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{4}{3} Q - 2 Q \frac{1}{1 - β} \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & β & - 2 α \\ 0 & 1 - β & 1 + 2 α \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{\frac{4}{3} Q - 2 Q \frac{1}{1 - β}}{1 - 2 \frac{1 + 2 α}{1 - β}} \end{matrix}] ~ [\begin{matrix} 1 & β & - 2 α \\ 0 & 1 - β & 1 + 2 α \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ Q \\ \frac{2 Q}{3} \frac{2 (1 - β) - 3}{(1 - β) - 2 (1 + 2 α)} \end{matrix}]$

Vi får att:

$N_{2} = \frac{2 Q}{3} \frac{2 \frac{A_{1}}{A_{3}} + 1}{1 + 4 \frac{A_{1}}{A_{2}} + \frac{A_{1}}{A_{3}}} = \frac{2 Q}{3} \frac{2 A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3}}{A_{1} A_{2} + 4 A_{1} A_{3} + A_{2} A_{3}}$

osv.

Tack så mycket! Ska försöka använda denna metod i liknande situationer. Du har verkligen räddat mig så här långt :)

Ingen fara! Det är mitt favoritämne och jag har arbetat som hjälplärare i hållfasthetslära i flera år.

Svara

Visa senaste svar