Enklare lösning på sluten form sökes

På en räknestuga nyligen kom följande uppgift in genom dörren:

För funktionen $y=2x-x^2$, finn t så att volymen som innesluts av x=0 och x=t och nämnda funktion som roteras runt x-axeln är 2.

$V\left(t\right)={\int }_0^t\mathrm{\pi }{\left(2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\right)}^{2}dx=\mathrm{\pi }\left(\frac{4}{3}{\mathrm{t}}^3-{\mathrm{t}}^4+\frac{{\mathrm{t}}^5}{5}\right)=2$

Man konstaterar att funktionen y har maximum vid 1 och ett nollställe vid 2, och den är monotont ökande på [0,2], och

 $$\begin{gathered} V\left(0\right)=0 \\ V\left(1\right)=\frac{1}{2}V\left(2\right) =\frac{8\mathrm{\pi }}{15}\approx 1.68 \end{gathered}$$

så det t vi söker är lite större än 1.

Lite modstulen över graden på den där ekvationen halar vi fram de verktyg vi har

Lite vagt, men drygt 1. Vi kan också fråga javascript:

> let v = (x) => Math.PI * (4/3*Math.pow(x,3) - Math.pow(x,4) + Math.pow(x,5)/5)
> let solve = (f, v, e, l, h) => { let t = (l+h)/2; let fv = f(t); if (Math.abs(fv-v)<e) return t; if (fv>v){ return solve(f, v, e, l, t)} else {return solve(f, v, e, t, h)};}
> solve(v, 2, 0.000000000000000000000001, 0, 2)
1.1040346610417937
>

Så till frågan: Finns det något sätt att lösa den här så att man får ett svar på sluten form? Varje försök (jag tror att ett helt kollegieblock har gått åt till det här) har givit uttryck i t som är av hög grad, men som inte går att förenkla på något sätt. Det ser ju lockande ut att man har en tredjepotens som går att bryta ut, men det hade varit mer värt om det handlade om att finna nollställen, så jag ser ingen väg framåt. Kanske är det så enkelt att man får nöja sig med ett numeriskt svar.

Tacksam för ideer.

PS - Den här uppgiften kom utan något svar eller facit, så jag kan ha både missuppfattat och gjort fel, och jag vet inte att det ska finnas någon enkel lösning på sluten form, men jag har en känsla att lite list borde kunnna producera en sån.