Enkla andragradsekvationer

För en andragradsekvation ger nollproduktsmetoden att alla ekvationer kan skrivas på formen: $k·(x-x_{nollställe ett})(x-x_{nollställe två})=0$, där k är en konstant. Eftersom du inte har någon konstant framför $x^{2}$ kan du direkt k = 1. Vilka nollställen har du? Vilken ekvation får du från detta?

Konstanter var väl heltal?

Hur kommer x in i parenteserna?

Konstanten kan vara vilket reellt tal som helst. 

x är redan placerade i parenteserna för att ekvationen ska få rätt form. Där det står Error converting from LaTeX to MathML byter du ut x:et mot värdet på x vid nollstället. Den första parentesen blir därför $(x-1)$. Vad blir den andra?

vad betyder reellt?

Kan du ta det steg för steg?

Först tar man väl bort b och c ur ekvationen

Då har man kvar x^2+x De blir väl (x+1)?

Ett reellt tal är en talgrupp som innehåller de flesta typer av tal; naturliga tal, heltal, bråk, irrationella tal, och dylikt. 

Nej, inte riktigt. Vi tar det från början. Vi vet att ekvationen $x^2+bx+c=0$ har två nollställen, då $x_1=1$ samt då $x_2=2$. Alla tal och uttryck multiplicerade med noll blir noll. Tre gånger noll är noll, femtioett gånger noll är lika med noll, och så vidare. Även x gånger noll är lika med noll. 

Denna tendens vid multiplikation med noll används ofta för att lösa ekvationer, då kallad nollproduktmetoden. Då har man oftast en ekvation, som den du fått, som man sedan faktoriserar för att få två (eller fler) uttryck multiplicerade med varandra. Om produkten är noll måste minst en av faktorerna vara noll för att totalsumman ska bli noll.

I detta fall går man baklänges. Vi börjar med ett faktoriserat standarduttryck, $k·(x-x_{nollställe ett})(x-x_{nollställe två})=0$, som tar avstamp i nollproduktmetoden. Anledningen till att man tar x-värdet för just nollställena är för att parenteserna ska bli noll för rätt värden. Eftersom x är en variabel får vi ett parentes likt $(x-5)$, om x = 5 är ett nollställe. När vi sedan frågar oss om x = 5 verkligen är ett nollställe, och sätter in x-värdet för att se om vi får noll, kommer vi att få en parentes med följande: $(5-5)=0$. Då har vi alltså en funktion som ger y-värdet noll på rätt ställen. Därför skriver man in nollställenas x-värden.

Konstanten k behövs endast om man har en konstant framför $x^{2}$-termen. Det har vi inte, och kan därför sätta att k = 1 direkt, och sedan glömma bort den. Vi provar att sätta in våra nollställen i uttrycket från förra stycket, och vi får:

$(x-1)(x-2)=0$

Detta kan vi sedan räkna ut, och vi får:

$$\begin{gathered} x^2-x-2x+2=0 \\ {x}^2-3x+2=0 \end{gathered}$$

Då har vi fått att b har värdet (-3), och c har värdet 2. 

Förstår du bättre nu? Om du vill testa dig själv kan du lösa samma uppgift men med nollställena:

$$\begin{gathered} x_1=4 \\ {x}_2=-2 \end{gathered}$$

Vilka värden får b och c då?