ENKEL linjär avbildning

Om de båda speglingarna INTE kommuterar så betyder det att man får olika resultat om man först gör $S_0$ och sedan $S$ jämfört med om man först gör $S$ och därefter $S_0$.

Hej!

Om avbildningarna $S$ och $S_0$ KOMMUTERAR så är den sammansatta avbildningen $SS_0$ -- applicera först $S_0$ därefter $S$ -- samma sak som den sammansatta avbildningen $S_0S$.

Subtraktion är en icke-kommutativ operation på tal; differensen $3-2$ är inte samma tal som $2-3$. Division är en icke-kommutativ operation på positiva heltal; bråket $2/3$ är inte samma tal som bråket $3/2$.

Tackar!

Ok nu förstår jag fråga 2. Då ska jag svara nej, matriser är ju inte kommutativa, förutom när dem är enhetmatriser.

Vad om fråga 1?

Om jag inte minns helt fel är speglingar kommutativa.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Jo jo, och det är därför att jag tror att den första matris är $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ (e1 vektor förändras inte men e2 pekas i negativ riktning)

Den andra tror jag har 2 gånger större vinkeln.

Har du ritat upp de båda spegellinjerna i samma koordinatsystem, och lagt in t ex en kattunge som du speglar två ggr i de båda linjerna?

Jag är inte tillräckligt duktig för att rita avspeglingarna i geogebra, och jag fick inte kattunge men det ser ut som det är mer $\frac{\mathrm{\pi }}{12}+\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ än bara $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$?

Vad jag ser har du bara speglat Monalisa i x-axeln och ritat en linje som har lutningen pi/12 och en annan som är vinkelrät mot denna. Det var inte det du skulle göra. Skall se om jag lyckas hitta någon bra bild.

Hej!

Speglingen $S_{0}$ avbildar basvektorn $(1,0)$ på sig själv och den avbildar basvektorn $(0,1)$ på vektorn $(0,-1).$ Avbildningen representeras därför av matrisen

    $\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$

Speglingen $S$ avbildar basvektorn $(1,0)$ på vektorn $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$ och den avbildar basvektorn $(0,1)$ på vektorn $(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Avbildningen representeras därför av matrisen

    $\displaystyle B = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3}&1\\1&-\sqrt{3}\end{pmatrix}.$

Avbildningarna $S_{0}$ och $S$ kommuterar precis då deras matrisrepresentationer $A$ och $B$ kommuterar, det vill säga då matrisen $AB$ är lika med matrisen $BA.$

 Jag blandar nog ihop diverse olika saker. När jag ritade en lite lättare uppgift (jag valde vinkeln 45 grader istället) blev det inte samma resultat om jag speglade först i x-axeln som om jag speglade först i den sneda linjen. Däremot, om jag speglar spegeln i x-axeln i den sneda linjen får jag en ny spegling i y-axeln och så småningom en spegel som är sned på andra hållet, och har jag alla dessa symmetrielement på plats blir en massa saker samma.

Tackar!

Albiki, det är en pi/12 vinkel, varför blev det koordinat för en 30 grader vinkel?

Hjäääälp, jag har fortfarande inte löst den....

Alltså jag förstår inte varför lösningen blir som Albiki säger, när vi har en vinkel av $\frac{\pi }{12}$. Det ser ut som Albiki har gjort en matris för en 60 gradersrotation och det är jag inte med :(

Edit: Jag har försökte ta mig samman och lösa det såhär.

Vi söker avbildningsmatriser för A och B, separatvis och inte en efter den andra.

A är enkel, som tidigare bestämt.

B är en klassisk rotation med $A=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$ och vinkeln är $\frac{\mathrm{\pi }}{12}=\frac{180°}{12}=15°$

Jag gräv upp från matte 4 sin och cos formeln:

$$\begin{gathered} \cos 15=\cos (45-30)=\cos 45\cos 30+\sin 45\sin 30 \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \\ \sin 15=\sin (45-30)=\sin 45\cos 30-\cos 45\sin 30 \\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Så min matris B ser ut såhär:

$A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}& \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\ \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}& \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\end{array}\right)$

Men tyvärr det är fortfarande inte rätt. Pust.

Det här borde vara riktigt för S, och stämmer med de värden för vinklarna som Albiki skrivit tidigare. Koordinaterna för den andra avbildningen, S, ges av

Tack så mycket Kanelbullen! Den är från 2 år sedan, jag borde ha stängd tråden !!

Ett lite roligt sätt att lösa detta på är att inse att man uppnår spegling av en vektor i en linje genom origo som har vinkeln $\alpha$ med x-axeln på följande sätt:

1) Rotera vektorn med en vinkel -$\alpha$

2) Spegla resultatet från 1) i x-axeln

3) Rotera resultatet från 2) med en vinkel +$\alpha$.

Således kan vi skriva hela transformationen S($\alpha$) på följande sätt

S($\alpha$) = R($\alpha$)S₀R(-$\alpha$) = $\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{array}\right].$