Enkel sannolikhetsuppgift: varför fungerar både med och utan hänsyn till ordning?

I din lösning a) har du tagit hänsyn till ordning, och adderat sannolikheterna för de bägge olika ordningarna.

I din lösning b) hittar vi först 21 sätt att välja två kulor, två individer, utan hänsyn till ordning. En del av dessa 21 sätt ger två svarta, en del ger två vita och en del ger en svart och en vit.

Hur kan vi välja individer så att en är svart och en är vit? Det finns 4 svarta individer och 3 vita, så det finns 4*3 = 12 sätt att välja. 

Av de 21 möjligheterna att välja två individer ger alltså 12 möjligheter färgerna "en svart, en vit".

Bubo skrev:

I din lösning a) har du tagit hänsyn till ordning, och adderat sannolikheterna för de bägge olika ordningarna.

I din lösning b) facits lösning hittar vi först 21 sätt att välja två kulor, två individer, utan hänsyn till ordning. En del av dessa 21 sätt ger två svarta, en del ger två vita och en del ger en svart och en vit.

Hur kan vi välja individer så att en är svart och en är vit? Det finns 4 svarta individer och 3 vita, så det finns 4*3 = 12 sätt att välja. 

Av de 21 möjligheterna att välja två individer ger alltså 12 möjligheter färgerna "en svart, en vit".

 

Jag tror att svaret på din fråga är att när du går genom "alla möjliga ordningar", så blir ju summan av dem lika med "oavsett ordning".

coffeshot skrev:

Hej!

Jag har en superbasic fråga om en kombinatorikuppgift (som säkert kan ställas under gymnasiekategorin, men den är en del av min kursbok i en universitetskurs).

Ur en urna med tre vita och fyra svarta kulor drar man slumpmässigt två kulor.

Beräkna sannolikheten att:

a) Man får en kula av varje färg, utan återläggning

b) Man får en kula av varje färg, med återläggning

Som jag förstått det så handlar binomialtal om att inte ta hänsyn till ordning - $\binom{52} 2$ ger mig antalet sätt att välja ut 2 kort ur 52, där Hjärter 10 draget först, Klöver ess draget sist eller tvärtom inte spelar någon roll.

a) uppgiften tänkte jag då att man kan lösa enligt följande:

Sannolikheten blir $P(\text{dra en svart kula först, sedan en vit} + P(\text{dra en vit kula först, sedan en svart} = 2 \cdot \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 6}=\frac{24}{42}=\frac{4}{7}$

men den går även att lösa enligt binomialtal, som facit / lösningsförslaget gör

Jag försöker bara förstå varför den kan lösas med en lösningsmetod som tar hänsyn till ordning, och en som inte gör det? Jag är visserligen med på att $\binom 4 1 \binom 3 1$ bara ger $4\cdot 3$ (samma som man får när man tar hänsyn till ordning), men $\binom 7 2$ ger ju $\frac{7\cdot 6}{2}$. Varför fungerar båda i det här fallet? Ursäkta min ringrostighet på kombinatorikområdet!

Om du vill ta hänsyn till ordning kan du även rita ett 2-dim koordinatsystem