Enkel diff.ekv (flervariabel)

Jag har fastnat på något trivialt, tror jag. Jag lyckades transformera en diff.ektvation till följande:

$v {f^{'}}_{v} + f = 0$

Där

$\{\begin{cases} u = x^{2} + y^{2} \\ v = e^{- x^{2} / 2} \end{cases}$

och under villkoret $f (0, y) = y^{2}$

Facit ger svaret i form av $f (u, v) = ϕ (u) v$ (och $f (x, y) = ϕ (x^{2} + y^{2}) e^{- x^{2} / 2} = (x^{2} + y^{2}) e^{- x^{2} / 2}$ ). Jag ser inte riktigt hur det stämmer när det är ett plustecken i diff.ekvationen. Kan någon hjälpa mig lite?

Får det inte riktigt att gå i hop.

$v \frac{\partial f}{\partial v} + f = \frac{\partial}{\partial v} (v f)$ , vilket borde ge att

$f (u, v) = \frac{ϕ (u)}{v}$ , eller hur?
Eller tänker jag helt galet här?

Svara