Enhetsrötter komplexa tal
Jag visar en uppgift som jag löst a) för att illustrera den som jag inte kan b) och som jag behöver hjälp med.
a) z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
Här ser man att z = - 1 är en rot. Jag dividerar och faktoruppdelar.
Då får jag ekvationen z4 + z2 +1 = 0.
Den har rötterna +- 1/2 +- i /2
Så nu har jag fem rötter. Dessa ligger på enhetscirkeln och kan (enl facit) skrivas som de sjätte enhetsrötterna med roten 1,0 utelämnad dvs
z = cos 2k pi /6 + i sin 2k pi /6 med k = 1 , 2, 3, 4, 5 (k = 0 utelämnad),
b) z4 - i z3 - z2 + i z + 1 = 0. Här kommer jag ingen vart.
I facit anges lösningen som de femte enhetsrötterna med roten 1,0 utelämnad dvs
z = cos 2k pi/5 + i sin 2k pi/5 med k = 1, 2, 3, 4 (k = 0 utelämnad)
Ekvationerna i a) och b) har grad 4 resp 5 men vinkeln mellan rötterna motsvarar grad 5 resp 6. I både a) och b) är roten 1,0 utelämnad.
jag behöver en bättre förståelse av vad ekvationen b) och enhetsrötter egentligen betyder.
tex z6 = 1 innebär en inskriven 6 hörning, z5 = 1 innebär en inskriven 5 hörning.
men vad innebär z6 + z5 = 1. Jag ser inte det.
I förklaringen av enhetsrötter används ekv zn = w. Där z och w är godtyckliga komplexa tal
på polär form.
Men här i a) och b) är ju z inte ett tal utan ett polynom. Så hur ska man resonera.
Alla tips välkomna.
Okej, jag har ingen aning om det är rätt metod men sättet som jag löste b uppgiften är genom en lite udda substitutionsmetod. Ta att z = w/i, och byt ut alla dina z. Då händer något intresant.
Jag tror inte att det finns någon speciellt mycket djupare analys av enhetsrötterna än den som du redan har tagit upp. Om det gör det känner jag i alla fall inte till den.
Tänk geometrisk summa.
z6 - 1 = (z - 1)(z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1).
Tillägg: 22 mar 2024 17:38
På b) kan man igen använda geometrisk summa.
(iz)5 - 1 = (iz - 1)(z4 - iz3 - z2 + iz + 1).
Dvs vår ekvation har samma lösningar som ekvationen iz5 = 1, förutom lösningen z = -i.
I b tycker jag det är roten z = i som är utelämnad, inte 1. Med andra ord w = 1 om man gör substitutionen som Lapland föreslår.
Tack, tricket var tydligen att se det som en geometrisk summa. Det hade jag aldrig kommit på och det kunde stått som vägledning i uppgiften. (tycker jag).
Det stämmer inte riktigt med hur jag beskrev uppgiften, för jag skrev fel svar i b) ovan
Rätt svar ska vara
z = sin 2k pi/5 - i cos 2k pi/5 med k = 1, 2, 3, 4 (k = 0 utelämnad).
Och då blir det roten (0,-i) som utelämnas och inte (1,0).
Starten för vinkeln är i punkten (0, -i ) istället för som normalt i enhetscirkeln( 1, 0 )
Så den tänkta femhörningen i enhetscirkeln är roterad pi/2 radianer medurs.
Jag behöver nog tänka igenom detta lite mer.
Men tack för hjälpen
