Enhetsnormalen

Ingen bild!

Glömde bifoga den 

1. Området blir en ellips.

Arean av en ellips ges av $A=ab\pi$, där a och b är ellipsens halvaxlar.

2. Planet $z=y+3$ kan skrivas på formen (planets ekvation) $0x-y+z=3$.

En normal till planet är därför $(0,-1,1)$

En enhetsnormal till planet blir då $\frac{1}{\sqrt{2}}(0,-1,1)$

Tack så mycket, så normalen måste vara normerad för att vi ska kunna använde den i stokes satsen. 

Ja, om du använder formen

$\displaystyle \int_{\partial Y}\mathbf{u}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\int\int_Y (\nabla\times\mathbf{u}) \cdot \mathbf{\hat{n}}\mathrm\,{d}S$

Men ibland används det vektoriella ytelementet istället. Då ser det ut ungefär så här:

$\int_{\gamma}\mathbf{u}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}=\int_\Omega (\nabla\times\mathbf{u}) \cdot \mathrm\,{d}\mathbf{S}$

Använd det eller de specialfall ni får lära er i just er kurs.

I kursen använder vi också det vektoriella ytelementet, men jag förstår inte helt hur tid ska vi använde den, och hur vi kan hitta den, kan du till exempel visa mig hur vi hittar den i detta exemplet 

mvh

suad 

Och får jag fråga om denna betecningan innanför parentesen. (∇×u), är detta här kryss produkt av potentialfunktion till u och i, eller är detta rot u 

Jag tror att (∇×u) svarar mor rot u, 

suad skrev:

Och får jag fråga om denna betecningan innanför parentesen. (∇×u), är detta här kryss produkt av potentialfunktion till u och i, eller är detta rot u 

Det är samma sak, $\mathrm{rot}\,\mathbf{u}=\nabla\times \mathbf{u}$.

I den här uppgiften är en parametrisering av planet $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y))=(x,y,y+3)$

Ytelementent blir

$\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{S}=(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y})\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=(0,-1,1)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Nu behöver vi inte bekymra oss om någon ellips, ytelementet och parametriseringen sköter allt åt oss.

Hej. Igen . Nu har jag provet med vektoriella ytelementet och får detta, men jag tror att detta är fel.

Du måste fortfarande beräkna rotationen av fältet $\mathrm{rot}\mathbf{u}$.

Eftersom det är en konstant är det lättare att du gör det innan parametrisering, $\mathrm{rot}\mathbf{u}=(-2,3,5)$

Nu kan vi sätta in det i Stokes sats:

$\displaystyle \int_Y (-2,3,5)\cdot (0,-1,1)\mathrm{d}x\mathrm{d}xy=\int_Y 2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Byt till polära koordinater för att integrera över cirkeln Y i xy-planet (som du parametriserat över).

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^1 2r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=2\pi$

Hej, och tack så mycket, jag undrar på om vi alltid kan använde det vektoriella ytelementet alltid i samband med stokes och gaussats eller inte 

Ja, du kan alltid använda det vektoriella ytelementet.

Dessutom är alla kurvor och ytor du stöter på är snälla (orienterbara) och går att parametrisera.

Men att parametrisera är ibland arbetskrävande.

Det kan vara krångligt att hitta en bra parameterframställning och du måste beräkna kryssprodukten $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ samt substituera $\mathbf{u}[ \mathbf{r}(u,v)]$

Det är därför bra om du lär dig hantera integralerna i båda formerna, ibland är det ena sättet mer bekvämt än det andra.

tack så mycket, men betyder detta att vi inte behöver ha en parametrisering när vi använder metoden med enhetsnormalen, mens när vi använder metoden med det vektoriella ytelementet behöver vi ha en parametrisering 

suad skrev:

tack så mycket, men betyder detta att vi inte behöver ha en parametrisering när vi använder metoden med enhetsnormalen, mens när vi använder metoden med det vektoriella ytelementet behöver vi ha en parametrisering 

Ja, det är korrekt.

tack så mycket det var till stor hjälp