Enhetsnormal kub?! (Matematik/Universitet)

Det blir ungefär samma som a, men sex olika sådana ytor, nämligen sidorna på kuben. Den i a är en av dem.

Vad de menar är att ytan kan delas in i 6 stycken som motsvarar de 6 sidorna på kuben, och att n är normalen för de olika styckena.

Bedinsis skrev:
Vad de menar är att ytan kan delas in i 6 stycken som motsvarar de 6 sidorna på kuben, och att n är normalen för de olika styckena.

Undrar också. Tänker spontant att de 6 olika normalerna isf tar ut varann?!

Louiger skrev:
Bedinsis skrev:
Vad de menar är att ytan kan delas in i 6 stycken som motsvarar de 6 sidorna på kuben, och att n är normalen för de olika styckena.
Undrar också. Tänker spontant att de 6 olika normalerna isf tar ut varann?!

Om fältet hade varit tillräckligt symmetriskt skulle det ha varit så, men det här fältet är inte så symmetriskt.

Kuben utgör en sluten yta med utåtriktad normal. En tillämpning av Gauss' sats medför förenklade beräkningar:

$\displaystyle \oint_{\Gamma}F\cdot \mathrm{d}S=\int_V\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf {F}\,\mathrm{d}V=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\,(4z-y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

Jag fattar inte var normalen till en kub ska vara 🤦‍♀️ normalen borde väl vara detsamma oberoende av fältet 🤷‍♀️

Kuben har sex normaler, en till varje sidyta. Varje normal är vinkelrät mot sin sidyta. Här, låt mig rita så kanske det blir klarare:

Jomen... kuben är ju ihopsatt av sex plan. Det är bara normalen till planet, alltså kubens sida.

Ja, normalen är konstant över ett område, över en av kubens sidor

Glöm inte att den har längd 1 också

AlvinB skrev:
Kuben har sex normaler, en till varje sidyta. Varje normal är vinkelrät mot sin sidyta. Här, låt mig rita så kanske det blir klarare:

Men vilken av dem är isf de utåtriktade normalen? En för mig utåtriktad normal är ju tex normalen til planet x+y+z=1 dvs helt positiv. Den övre är iof helt positiv, men utåtriktad 🤷‍♀️

När vi har ett plan så finns inget in eller ut, men det finns alltid två normaler. I det här fallet betyder utåtriktad utåt från kubens mitt (inte från origo om du trodde det!)

Qetsiyah skrev:
När vi har ett plan så finns inget in eller ut, men det finns alltid två normaler. I det här fallet betyder utåtriktad utåt från kubens mitt (inte från origo om du trodde det!)

Ok trodde orgio. Isf funkar ju vilket plan som helst 😀

Inåtriktad och utåtriktad refererar ju till om normalerna pekar in i kuben eller ut från den. Så här skulle det se ut om det istället var inåtriktade normaler:

AlvinB skrev:
Inåtriktad och utåtriktad refererar ju till om normalerna pekar in i kuben eller ut från den. Så här skulle det se ut om det istället var inåtriktade normaler:

Trodde det utgick från orgio, därför det blev koas i huvudet. Nu fattar jag. Då borde vilken yta som funka 😀

Då borde vilken yta som funka

Nej, de flesta ytor som finns lutar åt fel håll.

Smaragdalena skrev:
Då borde vilken yta som funka
Nej, de flesta ytor som finns lutar åt fel håll.

Å nu fattar jag inget 😥

Det finns 6 ytor om centrum är från kubens centrum och den utåtriktade normalen sökes borde det ju finnas 6 utåtriktade normaler att välja på?!

Louiger skrev:
Smaragdalena skrev:
Då borde vilken yta som funka
Nej, de flesta ytor som finns lutar åt fel håll.
Å nu fattar jag inget 😥
Det finns 6 ytor om centrum är från kubens centrum och den utåtriktade normalen sökes borde det ju finnas 6 utåtriktade normaler att välja på?!

Nja - varje yta hör ihop med sin normal. Du måste beräkna sex olika ytintegraler där varje sidyta hör ihop med en viss normal.

Detta är dock ganska omständigt. Jag rekommenderar därför att du följer Jroths tips om att utnyttja Gauss sats.

Louiger skrev:
Smaragdalena skrev:
Då borde vilken yta som funka
Nej, de flesta ytor som finns lutar åt fel håll.
Å nu fattar jag inget 😥
Det finns 6 ytor om centrum är från kubens centrum och den utåtriktade normalen sökes borde det ju finnas 6 utåtriktade normaler att välja på?!

Beräkna svaret för var och en av de sex ytorna och lägg ihop dem.

Louiger skrev:
Å nu fattar jag inget 😥
Det finns 6 ytor om centrum är från kubens centrum och den utåtriktade normalen sökes borde det ju finnas 6 utåtriktade normaler att välja på?!

Smaragdalena, försök vara hjälpsam här snälla

Du ska inte välja mellan de sex sidorna, du ska räkna ut flödet genom alla de och summera.

Louiger skrev att vilken yta som helst skulle funka. Jag höll inte med. Varför skulle det inte vara hjälpsamt?

Nu har du ju fått många varianter på svar och tips, så kanske är det inte oklart för dig längre - men jag kan definitivt tänka mig att man kan missförstå lite när det står "n dess utåtriktade enhetsnormal", som att det bara fanns en. Om det fortfarande känns snurrigt så tänker jag såhär:

I t.ex. ett klot eller annan helt jämn yta så finns det oändligt många normaler, dvs vektorer vinkelräta mot ytan. Det blir därför inte helt orimligt att snacka om "en normal" som kan variera över ytan, ungefär som "x är kordinaten i längdled, men den kan variera". Din kub är dock inte en slät yta utan en sammansättning av sex helt platta sidor, så i ditt fall finns det bara sex olika normaler (för varje yta finns det ju bara en riktning som är vinkelrät mot den).

Så i mitt huvud, när det är en integrering över något icke-kontinuerligt, så glider jag över till att tänka "summa" snarare än integral. Och vips så är man framme vid det Qetsiyah tipsar om: räkna ut flödet genom alla och summera, dvs hantera dem var och en för sig först.

Jag har börjat, men är väldigt osäker på definitionsmängden (jag har inte riktigt greppat hur jag ser vilken definitionsmängd vektorerna får) Jrot har förklarat väldigt bra i en annan uppg men jag fattar ändå inte när jag jobbar med denna.

Bump

Smaragdalena: jag vet exakt vad du menar och det påståendet är helt korrekt eftersom det finns oändligt många andra plan som inte är någon av kubens sex sidor, men det skämtet är varken roligt, lämpligt eller hjälpsamt i detta sammanhang. Eleven har här svårt att förstå frågan och uppbarligen blev han ännu mer förvirrad av din kommentar, varför ville du säga det? Du som är lärare ska mycket väl veta vad som hjälper en elev eller inte.

Qetsiyah: Vill du fortsätta att tolka det som ett skämt får du gärna göra det, men det var inte så jag menade. Det var ett allvarligt konstaterande att det intefungerarr med vilket plan som helst. Jag trodde att TS skule ha nytta av detta påpekande.

I ett annat sammanhang hade jag tyckt att det var måttligt kul, ja, just eftersom påståendet stämmer.

Louiger skrev:
Jag har börjat, men är väldigt osäker på definitionsmängden (jag har inte riktigt greppat hur jag ser vilken definitionsmängd vektorerna får) Jrot har förklarat väldigt bra i en annan uppg men jag fattar ändå inte när jag jobbar med denna.
[...]

Jag rekommenderar dig starkt att tillämpa Gauss sats. Då behöver du bara beräkna en integral istället för sex olika.

Men om du vill fortsätta på spåret du börjat på: Du har ju beräknat två av ytintegralerna helt rätt. Det är ju bara att beräkna de fyra kvarvarande och sedan addera resultaten.