enhetscirkeln (Matematik/Matte 3)

Hej!

Börja med att dra ett rakt streck ner från punkten $P$ till x-axeln. Då får du en rätvinklig triangel. Rita den.

Vad kan du säga om vinkeln vid origo för den triangeln?

Hur lång är hypotenusan av triangeln? Tänk på att cos(v)=närliggande/hypotenusa, och sin(v)=...

Till sist får du tänka på vilken kvadrant $P$ befinner sig i.

Moffen skrev:
Hej!
Börja med att dra ett rakt streck ner från punkten $P$ till x-axeln. Då får du en rätvinklig triangel. Rita den.
Vad kan du säga om vinkeln vid origo för den triangeln?
Hur lång är hypotenusan av triangeln? Tänk på att cos(v)=närliggande/hypotenusa, och sin(v)=...
Till sist får du tänka på vilken kvadrant $P$ befinner sig i.

ok då förstår jag att det blir närliggande/hypotenusa dvs cosv jag får närliggande till 30° och hypotenusa till 1 dvs 30/1 vart gör jag fel?

Jag vet inte vad du har gjort för fel för du visar inte vad du har gjort och du har inte lagt in en bild här i tråden över situationen som jag bad dig om. Det är en mycket lärorik bild att ha framför sig.

Moffen skrev:
Jag vet inte vad du har gjort för fel för du visar inte vad du har gjort och du har inte lagt in en bild här i tråden över situationen som jag bad dig om. Det är en mycket lärorik bild att ha framför sig.

Fin bild!

Som du redan kommit fram till så har hypotenusan längden 1. Du skriver lite slarvigt (vinkeln är 30 grader men $n$ är en längd som inte är lika med 30 grader) men om du betecknar vinkeln vid origo med säg $\alpha$ så gäller att $\cos{\alpha}=\frac{n}{1}=n$ , dvs. lika med x-koordinaten för $P$ (men med motsatt tecken, varför?), eller hur? Du vet även att vinkeln $α = 30 °$ , så du har $\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Kan du göra en likadan analys för y-koordinaten av $P$ ?

Moffen skrev:
Fin bild!
Som du redan kommit fram till så har hypotenusan längden 1. Du skriver lite slarvigt (vinkeln är 30 grader men $n$ är en längd som inte är lika med 30 grader) men om du betecknar vinkeln vid origo med säg $\alpha$ så gäller att $\cos{\alpha}=\frac{n}{1}=n$ , dvs. lika med x-koordinaten för $P$ (men med motsatt tecken, varför?), eller hur? Du vet även att vinkeln $α = 30 °$ , så du har $\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Kan du göra en likadan analys för y-koordinaten av $P$ ?

Jag håller med att cosv=30 grader dvs 30=n/1 men förstår inte hur du fick roten ur 3?

mattegeni1 skrev:
Moffen skrev:
Fin bild!
Som du redan kommit fram till så har hypotenusan längden 1. Du skriver lite slarvigt (vinkeln är 30 grader men $n$ är en längd som inte är lika med 30 grader) men om du betecknar vinkeln vid origo med säg $\alpha$ så gäller att $\cos{\alpha}=\frac{n}{1}=n$ , dvs. lika med x-koordinaten för $P$ (men med motsatt tecken, varför?), eller hur? Du vet även att vinkeln $α = 30 °$ , så du har $\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Kan du göra en likadan analys för y-koordinaten av $P$ ?
Jag håller med att cosv=30 grader dvs 30=n/1 men förstår inte hur du fick roten ur 3?

Nej, vinkeln $\alpha$ är 30 grader, så $\cos (α) = \cos (30 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , är du med på det?

Moffen skrev:
mattegeni1 skrev:
Moffen skrev:
Fin bild!
Som du redan kommit fram till så har hypotenusan längden 1. Du skriver lite slarvigt (vinkeln är 30 grader men $n$ är en längd som inte är lika med 30 grader) men om du betecknar vinkeln vid origo med säg $\alpha$ så gäller att $\cos{\alpha}=\frac{n}{1}=n$ , dvs. lika med x-koordinaten för $P$ (men med motsatt tecken, varför?), eller hur? Du vet även att vinkeln $α = 30 °$ , så du har $\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Kan du göra en likadan analys för y-koordinaten av $P$ ?
Jag håller med att cosv=30 grader dvs 30=n/1 men förstår inte hur du fick roten ur 3?
Nej, vinkeln $\alpha$ är 30 grader, så $\cos (α) = \cos (30 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , är du med på det?

Jag förstår inte hur du fick fram roten ur 3/2?

triangeln du fick har vinklarna 30,60,90
Det är en halv liksidig triangel.

Du kan se här hur man utnyttjar det för att få fram cosinus eller sinus värden: trigonometriska_varden_for_standardvinklar

Har jag tänkt rätt och räknat rätt?

joculator skrev:
triangeln du fick har vinklarna 30,60,90
Det är en halv liksidig triangel.
Du kan se här hur man utnyttjar det för att få fram cosinus eller sinus värden: trigonometriska_varden_for_standardvinklar

Jag tror vi kommenterade samtidigt såg du hur jag tänker? Tänker jag fel?

Skrev fel på kommentaren innan dethär är svaret. Men jag undrar varför vi utgår från triangeln som jag ritat till höger och inte den som är ritat i enhetscirkeln? För då har den 1 längdenhet som är hypotenusa men den triangeln i höger jag ritar får vi en annan hypotenusa?

mattegeni1 skrev:
Har jag tänkt rätt och räknat rätt?

Inte riktigt, och återigen verkar du blanda ihop vinkeln med cos av vinkeln (kanske vore bra att repetera lite?).

Här kan du använda pythagorassats. Du vet att hypotenusan är 1, basen är hälften av vad en sida är (dvs $\frac{1}{2}$ ) eftersom vi skär bort ena halvan av triangeln rakt uppifrån och det är en liksidig triangel.

Använd nu pythagorassats för att få fram höjden i din triangel.

Moffen skrev:
mattegeni1 skrev:
Har jag tänkt rätt och räknat rätt?
Inte riktigt, och återigen verkar du blanda ihop vinkeln med cos av vinkeln (kanske vore bra att repetera lite?).
Här kan du använda pythagorassats. Du vet att hypotenusan är 1, basen är hälften av vad en sida är (dvs $\frac{1}{2}$ ) eftersom vi skär bort ena halvan av triangeln rakt uppifrån och det är en liksidig triangel.
Använd nu pythagorassats för att få fram höjden i din triangel.

Jag har uppdaterat kolla min kommentar innan där är det rätt räknat men förstår bara inte varför hypotenusan inte blir 1 då det är 1 längdenhet

Jag har uppdaterat kolla min kommentar innan där är det rätt räknat men förstår bara inte varför hypotenusan inte blir 1 då det är 1 längdenhet

Ok.

Vi utgår från en liksidig triangel eftersom där är det lätt att räkna ut $\cos (30 °)$ och cosinus värde av en vinkel är inte beroende på triangeln eller längden på sidorna. Därför kunde du lika gärna använt en hypotenusa med längd $1$ , en bas med längd $\frac{1}{2}$ och sen beräknat höjden med pythagorassats.

Tydligt?

Moffen skrev:
Jag har uppdaterat kolla min kommentar innan där är det rätt räknat men förstår bara inte varför hypotenusan inte blir 1 då det är 1 längdenhet
Ok.
Vi utgår från en liksidig triangel eftersom där är det lätt att räkna ut $\cos (30 °)$ och cosinus värde av en vinkel är inte beroende på triangeln eller längden på sidorna. Därför kunde du lika gärna använt en hypotenusa med längd $1$ , en bas med längd $\frac{1}{2}$ och sen beräknat höjden med pythagorassats.
Tydligt?

Ja jag förstår så långt men vad är bas är den närliggande som räknas som bas och hur kom du fram till 1/2?

Ja jag förstår så långt men vad är bas är den närliggande som räknas som bas och hur kom du fram till 1/2?

Vi använde triangeln som du ritat och antog att den var liksidig med sidlängderna $1$ . Sen delar du upp den stora triangeln i två små genom att dra ett streck rakt ner från toppen, vilket delar bottensidan med $2$ , eller hur? Så om den stora triangeln har bottenlängd $1$ borde den lilla triangeln ha bottenlängd $\frac{1}{2}$ .

Som "man brukar" benämna sidorna i en triangel så valde jag den horisontella längden som bas och vertikala som höjd.

För att kunna prata om närliggande behöver vi en referens, dvs. närliggande till vad? (I det här fallet vilken vinkel?).