Enhetscirkel

Jag antar att du vet att cos v är närliggande katet delat med hypotenusan och att sin v är motstående katet delat med hypotenusan (det är det du har skrivit i dina beräkningar). Finessen med enhetscirkeln är att hypotenusan är 1 och att det är enkelt att dela med 1 :). Det ser vi också i din bild. Vad menar jag med det? Jo, i din utmärkta figur har du ritat en rätvinklig triangel och du har markerat en vinkel. Värdena x och y i din bild är koordinaterna för punkten där hypotenusan (=din markerade radie) slutar. D.v.s. om du låter din radie rotera kring origo så kommer du hela tiden att kunna avläsa sinus- och cosinusvärendena på axlarna. Det är sinus och cosinus av den vinkel som du har markerat och som kommer att ändras när radien roterar. Fråga igen om du inte förstår vad jag menar.

Lägg tid på att förstå enhetscirkeln. Det kommer att hjälpa dig i mer än matematik.

Men hur kan vinkeln v vara en trubbig vinkel förstår inte hur det går ihop

Vad menar du också med "D.v.s. om du låter din radie rotera kring origo så kommer du hela tiden att kunna avläsa sinus- och cosinusvärendena på axlarna."

Du har helt rätt. I en rätvinklig triangel kan man inte ha en trubbig vinkel. När man introducerar de trigonometriska funktionerna så brukar man börja med rätvinkliga trianglar. Men sedan generaliserar man begreppen och använder enhetscirkeln som "definition" av funktionerna i stället. (Nu uttryckte jag mig väldigt slarvigt och kommer kanske få påhopp från andra pluggakutare, men jag tror att det kan vara till hjälp ändå...)

Alltså, så länge din radie som du ritade befinner sig i 1:a kvadranten så har vi en rätvinklig triangel och allt är nog kristallklart. Man kan då läsa av sinus på y-axeln och cosinus på x-axeln. Om du låter radien närma sig y-axeln och sedan passera den och om du fortfarande noterar x- och y-koordinaterna för radiens "ände" och om du sedan plottar dessa värden så kommer du att få en sinus och en cosinus-kurva för respektive koordinat. Jag tror att du vet hur en sinuskurva ser ut. Det kanske är någon slags förklaring. Din bok har säkert bättre förklaringar när den generaliserar till vinklar större än 90 grader.

Jag hänger tyvärr fortfarande inte med riktigt

Det jag förstår är detta.

Beviset på att cos v=x och att sin v=y är att om man ritar en triangel i enhetscirkeln kan man då använda sig av de metoderna som man har lärt sig från trigonometrin vilket leder till 

cos v= närliggande katet/hypotenusan=x/1=x

sin v= motstående katet/hypotenusan=y/1=y

Därför blir cos v och sin v lika med x- och y-koordinaterna för änden av radien. Vilket är bra eftersom då har jag fått en större förståelse nu

Det jag inte förstå är vad är det som händer när vinkeln blir större än 90 grader vart får man dessa x och y värdena som ger vinkeln. Det som känns som jag inte kan förstå detta tills jag inte fattar trigonometrin bakom en triangel med en trubbig vinkel

Jag är ledsen om jag har rört till det. Eftersom du ritade en så snygg enhetscirkel så trodde jag att ni hade gått genom hur den hänger ihop med sin/cos.

Jag hittade en snygg animation där man plottar y-koordinaten (som jag försökte beskriva i ord) efterhand som radien roterar. Då får man en sinuskurva eftersom man avläser sinus på just y-axeln.

Förlåt jag förstår fortfarande inte 

Har du tittat på animeringen som Peter länkade till?

Där visas att när vinkeln mellan radien och den positiva x-axeln ökar så ändras även y-koordinaten för radiens skärning med enhetscirkeln.

Ändringen är så här: Den går från 0 (då vinkeln är 0), upp till 1 (då vinkeln är 90°), ner till 0 igen (då vinkeln är 180°), ner till -1 (då vinkeln är 270°) och slutligen upp till 0 igen (då vinkeln är 360°).

När den här ändringen (från 0, upp till 1, ner till 0, ner till -1 och upp till 0 igen) plottas så bildas en sinuskurvan, den välbekanta (?) vågformen.

Hänger du med så långt?

Jag hänger med än så länge

OK bra.

Eftersom sinuskurvan beskriver sinusvärdet som funktion av vinkeln så innebär det att y-koordinaten för radiens skärningspunkt med enhetscirkeln är lika med sinusvärdet för den aktuella vinkeln mellan radien och den positiva x-axeln.

Och om ni inte har gått igenom sin/cos för vinklar större än 90 grader så är det helt OK att "vänta med att förstå det". Annars kan man säga att sin/cos definieras via enhetscirkeln på det sätt som animeringen visar. Sedan kan det vara svårt att hinna med att förstå vad som händer i animeringen. Det kanske kräver att man tittar, pausar, funderar, för att hinna se vad som händer.

Det är ju jättebra att du tycker att du fick svar på din ursprungliga fråga:

Fotbollskillen12 skrev:

... Det första jag inte förstår är varför x koordinaten= cos v och varför y-koordinaten= sin v

resten i den här tråden får du se som bonus :)