enhetscirkel 2

Hej!

Notera att för att gå från punkten $P$ till punkten $T$ så lägger vi till vinkeln $\frac{\pi}{2}$ till $v$. Om vi tänker oss det komplexa talplanet $\mathbb{C}$ och försöker lösa problemet där så kan vi sedan återgå till det reella planet $\mathbb{R}^2$. 

Att multiplicera ett komplext tal $z$ med talet $i$ är samma sak som att vrida $z$ med $\frac{\pi}{2}$ radianer, vilket är precis det vi vill göra för att nå alla punkter, är du med på det?

Vi låter det komplexa talet $z$ vara vår punkt $a+ib$, dvs. $z=a+ib=e^{iv}=\cos{v}+i\sin{v}$. Då är det komplexa talet $w=i\cdot z$ lika med $w=i\cdot z=\cos{\left(v+\frac{\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(v+\frac{\pi}{2}\right)}$. Översätter vi det till det reella talplanet så hittar vi att punkten $T=\left(\cos{\left(v+\frac{\pi}{2}\right)},\sin{\left(v+\frac{\pi}{2}\right)}\right)$.