Enfrihetgradssystem svängningsanalys

På denna uppgiften har jag räknat ut x(t) och fått den rätt. Men hur vet jag vilket fall av dämpning det är? Exempelvis i a) fick jag $x (t) = \frac{3}{2} L_{0} (1 + \frac{1}{2} \frac{c}{m} t) e^{- \frac{c}{2 m} t}$ , men hur vet jag var c är? Är c mellan 0 och 1 är det ju svag dämpning, lika med 1 kritisk dämpning och större än 1 stark dämpning. Det ska i a vara kritisk dämning (c=1).

Dämpningen är en klassificering av hur lösningarna uppför sig. Ekvationen för systemet är

$\ddot{x}++\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0$

Den karaktäristiska ekvationen är

$r^2+\frac{c}{m}r+\frac{k}{m}$

$\displaystyle r=-\frac{c}{2m}\pm \sqrt{\frac{c^2}{4m^2}-\frac{k}{m}}$

Om rötterna till ekvationen är en reell dubbelrot erhålls kritisk dämpning

Vi har en dubbelrot då uttrycket under rottecknet blir noll, dvs då

$\displaystyle\frac{c^2}{4m^2}=\frac{k}{m}$ vilket inträffar för $c=2\sqrt{km}$

Systemet är starkt dämpat om vi får två olika reella rötter, dvs när

$\displaystyle \frac{c^2}{4m^2}>\frac{k}{m}$

Slutligen är systemet svagt dämpat om

$\displaystyle \frac{c^2}{4m^2}\ll\frac{k}{m}$

Svara