En vas ska tillverkas (Matematik/Matte 4)

Det är en bra början.

Kan dessa bilder ge dig lite inspiration?

Jag ser nu att jag ritade V₁ fel.

Så här ska det vara:

Jag förstår inte vad uppgiften går ut på. Vad är det man ska beräkna? Jag förstår inte frågan vad de frågar efter trots att jag läst frågan flertal gånger

Du ska beräkna volym av vasen som dom nämnda kurvorna utgör. Du kan börja med att hitta skärningspunkterna.

Tillägg: 21 feb 2022 23:54

Det finns en liknande tråd här:

https://www.pluggakuten.se/trad/volymen-av-en-vas/

Jag tycker uppgiften är konstigt formulerad. Är det vasens vattenvolym som skall beräknas eller är det en tjock glasvas där glasvolymen skall beräknas?

Soderstrom skrev:
Du ska beräkna volym av vasen som dom nämnda kurvorna utgör. Du kan börja med att hitta skärningspunkterna.

Tillägg: 21 feb 2022 23:54

Det finns en liknande tråd här:

https://www.pluggakuten.se/trad/volymen-av-en-vas/

Hittar jag skärningspunkterna genom att ta

y1 dvs första funktionen lika med den andra funktionen?

När jag har tagit fram skärningspunkterna. Hur gör jag sen?

Jan Ragnar skrev:
Jag tycker uppgiften är konstigt formulerad. Är det vasens vattenvolym som skall beräknas eller är det en tjock glasvas där glasvolymen skall beräknas?

Jag tror att det är som Yngve har ritat, $V_1$ i #3 minus $V_2$ i #2

Du ska beräkna hur mycket material vasen består av.

Katarina149 skrev:

Hittar jag skärningspunkterna genom att ta

y1 dvs första funktionen lika med den andra funktionen?

Ja, det ger dig x-koordinaten för skärningspunkten.

När jag har tagit fram skärningspunkterna. Hur gör jag sen?

Beräkna V₁ med hjälp av en integral
Beräkna V₂ med hjälp av en integral
Beräkna V₁-V₂
Klart

Hej! Jag försöker hitta den primitiva funktionen till (sqrt(x+1))/3 .. Jag integrerar funktionen sqrt(x+1)/3 mellan x=0 och x=20/7 . Jag fick fram x=20/7 genom att sätta funktionerna som är angivna i uppgiften lika med varandra. Därefter försöker jag räkna ut V1 (rotationsvolymen) .

Jag vet inte heller hur jag ska gå tillväga för att beräkna V2

Du har fått fram rätt x-koordinat för skärningspunkten.

Men din integral stämmer inte.

Det du ska beräkna är V₁, dvs volymen av den rotationskropp som uppstår då området som begränsas av $y=\frac{\sqrt{x+1}}{3}$ , linjen $x=\frac{20}{7}$ och de positiva koordinataxlarna roterar ett varv runt $x$ -axeln.

Om du använder skivmetoden så har varje skiva radien $y$ och alltså arean $\pi y^2$ . Den funktion du ska integrera blr då $\pi (\sqrt{\frac{x+1}{3}})^2$ , dvs $\pi\cdot\frac{3x+1}{3}$ .

För V₂ (dvs vasens "urgröpning") gäller samma tankesätt, men här ska du använda en annan undre integrationsgräns och en annan funktion..

=========

(För övrigt så är $\sqrt{x+1}$ inte lika med $\sqrt{x}+\sqrt{1}$ .)

Jag måste hitta primitiva funktionen av (x+1)/9 men jag vet inte hur jag ska göra. Hur hittar jag den primitiva funktionen till (x+1)/9?

Jag är säker på att du kan det! Delat med 9 är ju bara en konstant, den påverkar inte. Du kan också tänka att uttrycket är x/9 + 1/9

Jag har svårt med att hitta den primitiva funktionen

Om du istället skriver första termen som $\frac{1}{9}\cdot x$ så kanske det blir enklare att hitta den primitiva funktionen till just den termen?

Och kom ihåg att pröva ditt förslag på primitiv funktion.

jag får den primitiva funktionen

till att bli (1/9)*(x²/2)+ ... Men den andra delen fastnar jag på dvs jag fastnar på hur jag hittar den primitiva funktionen av 1/9

OK, du kan tänka så här: Vilken funktion har derivatan 1/9 överallt?

Om inte det funkar kan du skriva termen som $\frac{1}{9}\cdot x^0$ och sedan använda samma formel eller tankesätt som du gjorde med den första termen.

Ja det fastnade jag på. Isåfall ska det bli

(1/9)*x¹/1 eller?

Yngve skrev:
Och kom ihåg att pröva ditt förslag på primitiv funktion.

Du kan inte fråga oss på provet

Du måste träna på att själv kontrollera dina förslag på primitiva funktioner.

Har du gjort det?

okej. derivatan av x/9 är 1/9 vilket betyder att det stämmer

Bra. Ja det stämmer.

Ta nu för vana att alltid göra så när du tagit fram ett förslag på primitiv funktion.

Då slipper du onödiga tankefel plus att du kan gå vidare i uppgiften utan att behöva vara osäker på om det var rätt eller inte.

jag får ${[\frac{x^{2}}{18} + \frac{x}{9}]}_{0}^{\frac{20}{7}} = \frac{{(\frac{20}{7})}^{2}}{18} + \frac{(\frac{20}{7})}{9} = 0.77097 a e$

Exakt svar bli V1= 340/441 ve

obs!!Det ska vara volymenheter inte areaenheter som jag skrev

Nu har jag V1

Hur hittar jag V2?

Visst ska man använda funktionen y=sqrt((x/2)-1)) men mellan vilka x ska jag integrera?

Du har inyegrerat rätt men tappat bort faktorn pi på vägen.

Sedan stämmer inte din uträkning. Kontrollera den.

För att beräkna V₂ ska du beräkna volymen av en annan rotationskropp.

Du hittar undre och övre gränsen om du tittar på figuren.

Vad är det som inte stämmer. Är det rätt så långt?

Katarina149 skrev:
Vad är det som inte stämmer. Är det rätt så långt?

Nej det var jag som räknade fel.

Din uträkning stämmer.

Hur hittar jag integrationsgränserna för den andra funktionen dvs då jag vill beräkna rotationskroppen för V2?

Men helt ärligt så förstår inte vad det är jag beräknar och vad det är jag ska komma fram till. Vad menar de med ”Hur stor blir vasens volym om x och y är mätt i dm”? Vad är det de vill jag ska beräkna?

Yngve skrev:
Du ska beräkna hur mycket material vasen består av.

Hur hittar jag integrationsgränserna när jag vill räkna ut V2. Hur räknar jag ut V2

Nu har jag även beräknat V2. Vad ska jag göra nu?

Om du deriverar din primitiva funktion, stämmer det med ursprungsfunktionen?

Efter det: Titta på skisserna. Vilken volym är V1? Vilken är V2? Vad är vas och vad är "tomrum"?

den primitiva funktionen måste vara

${[\frac{x^{2}}{4} - x]}_{2}^{\frac{20}{7}}$

Är det rätt så långt?

Jag förstår inte vad det är man ska räkna ut. Kan du markera på bilden? Det enda jag förstår är att jag har räknat ut rotationsvolymen V1 och V2 . Men mer än så förstår jag inte

Tänk dig en vas. Inte exakt bild men i princip:

En vas har ett tomrum i sig där vatten/blommor sätts.

1. är uträkning rätt?

2. För att få fram ”tomrummet” ska man ta V1-V2. Men vart finns det här tomrummet om du markerar på grafen?

V2 är ju den delen av som är tomrum. Om du hugger av en morot och ska göra den till en vas så gröper du ju ur en "skål" i ena änden.

Jag har inte kollar uträkningen men ser i princip rätt ut.

Hur vet man att man just ska ta v1-v2? Varför ska man göra det ens?

Du behöver rita upp rotationskropparna i "3D" för att få en förståelse.

Kurvan som roterar som ger V1 är ju konturen av kroppen. Som en avhuggen morot.
Precis som att funktionen y=x som roterar runt x-axeln blir en kon.
Eller som att formen då funktionen y=5 som roterar runt x-axeln är en cylinder.
Det är ingen stor ide att gå vidare innan du tycker det är glasklart.

V2 är samma sak. Det blir som en liten skål-liknande form. Det är volymen som beskriver tomrummet inne i vasen.
Alltså formen på den kropp som du måste hacka bort ur V1 för att få tomrummet.

Det är som du skriver svårt att ”förstå” om man inte ritar en digital 3D skiss. Jag vet inte hur jag ska rita skissen. Kan du visa hur en 3D skiss av den frågan hade sett ut

Vasen ser ut ungefär så här.

Jag har "ställt" den upp så att x-axeln pekar rakt uppåt och y-axeln åt vänster.

Vasens yttre form ges av $y=\frac{\sqrt{x+1}}{3}$ , från $x=0$ till $x=\frac{20}{7}$ .

Vasen har en "urgröpning" vars form ges av $y=\sqrt{\frac{x}{2}-1}$ , från $x=2$ till $x=\frac{20}{7}$ .

Hålet i vasen (där man kan fylla i vatten och stoppa ner blommor) är alltså ganska "grunt".

Varför pekar pilen som visar x axeln rakt uppåt? Ska den inte vara horisontell? Dvs peka i x led

Bilden var bara tänkt som.en 3D-illustration för att visa hur vasen ser ut ungefär och då tänkte jag att det skulle vara tydligare om vasen står upp.

Om vi låter bli att vrida vasen blir det så här: