En uppgift på diskret stokastisk variabel

Hej! Jag behöver hjälp med denna uppgift, jag har ingen aning vart jag gör fel någonstans.

"Let the random variable X have pmf p(k) =1/2^k, k=1,2,... and let Y=1/X. Find the cdf of Y."

Jag tycker uppgiften egentligen verkar relativt straight forward. Jag löser den på följande vis:

Notera först att X är en diskret stokastisk variabel, och att utfallsrummet är uppräkneligt. Alltså så gäller (enligt en sats i boken) att fördelningsfunktionen F_x ges av $F_{X} (n) : = P (X \leq n) = {\sum p_{X} (k)}_{k = 1}^{n} = {\sum \frac{1}{2^{k}}}_{k = 1}^{n} = \frac{1}{2} {\sum \frac{1}{2^{k}}}_{k = 0}^{n - 1} = \frac{1}{2} \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Vi söker alltså $F_{Y} (y)$ .

Vi börjar med att skriva $F_{Y} (y) : = P (Y \leq y) = P (\frac{1}{X} \leq y) = P (X \geq \frac{1}{y}) = P (X = \frac{1}{y}) + P (X > \frac{1}{y}) = = p_{X} (\frac{1}{y}) + 1 - P (X \leq \frac{1}{y}) = {(\frac{1}{2})}^{1 / y} + 1 - F_{X} (\frac{1}{y})$

Om vi nu använder resultatet ovan så får vi alltså att $F_{Y} (y) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{y}} + 1 - (1 - 2 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{y}}) = 3 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{y}}$ vilket är totalt fel om man jämför med svaret facit ger. Så uppenbarligen gör jag något ödesdigert misstag någonstans i lösningen ovan, men jag ser inte vad det skulle vara. Tacksam för hjälp!

Mvh!

Nu när jag tänkte efter lite så har jag kommit fram till följande, rätta mig ifall jag har fel:

Uppgiften är ganska luddig från första början. Men visst måste det alltså gälla att $X = {1, 2, 3, . . .}$ och att det i såfall blir problem i min lösning ovan när jag ska evaluera uttrycket $P (X = \frac{1}{y})$ . Vi har ju nämligen att $Y = {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, . . .}$ och det enda sättet att få $P (X = \frac{1}{y})$ att make'a sense är ifall vi y=1. Om y>1 så måste ju sannolikheten för X att bli ett rationellt tal vara noll eftersom dess utfallsrum enbart består av heltal? Alltså: $P (X = \frac{1}{y}) = \{\begin{cases} 0 o m y > 1 \\ ? a n n a r s \end{cases}$ och ifall vi då inskränker oss till fallet y>1 så fås enligt ovan att $F_{Y} (y) = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{y} - 1}$ för y>1. I facit så uttrycket de svaret på följande vis istället:

"If x=1/n for some integer n, then $F_{Y} (x) = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ , for other $x \in (0, 1]$ $F_{Y} (x) = {(\frac{1}{2})}^{[n]}$ " där [*] betecknar heltalsdelen.

Jag är ganska lost just nu. Tänker jag rätt i min motivering ovan, och hur ska man tänka för att få fram den andra delen i svaret? Första delen verkar ju svara mot mitt svar ovan.

Svara