En uppgift i geometri och vinklar

Börja med att rita en rätvinklig triangel, där du kallar kateternas längder a och b och hypotenusans längd c.

Kalla en av de spetsiga vinklarna v.

Utnyttja nu det du vet om förhållandet mellan sidlängder och trigonometriska värden.

En liten Pythagoras sats kan också vara behändig att använda.

Detta tillvägagångssätt blir en bra introduktion till något som kallas "trigonometriska ettan", vilket är ett väldigt användbart samband.

Ok tack!

Hur går jag vidare sen?

Har du testat göra det Yngve skrev?

Ja, men jag förstår inte hur jag ska kunna få fram svaret. 

Då har du förmodligen en triangel framför dig där en sida är okänd. Med Pythagoras sats kan du få fram den sidan. Därefter blir det tydligt vad cos(v) måste vara.

isabellnordin skrev:

Ja, men jag förstår inte hur jag ska kunna få fram svaret. 

Ta en bild av triangeln med din mobil och ladda upp den här.

Fortsättningen förutsätter att du känner till dessa samband (som du hittar i ditt formelblad):

Kan detta vara rätt svar och uträkning?

Tar jag sedan svaret jag fick fram delat på 8 eftersom COS = b/c?

Utmärkt figur och bra tänkt.

Egentligen är din uppställning inte helt rätt eftersom det inte finns något som säger att hypotenusan faktiskt har längden 8 och att den motstående kateten faktiskt har längden 5. Det enda som sägs är att förhållandet mellan längden av motstående katet och längden av hypotenusanr 5/8.

Men i övrigt är det rätt, förutom att du avrundar $\sqrt{39}$.

Du bör få att $\cos(v)=\frac{\sqrt{39}}{8}$.

=====

En mer formellt korrekt uträkning vore följande:

Pythagoras sats ger $a^2+b^2=c^2$

Dividera med $c^2$:

$\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1$

Skriv om med hjälp av potenslag:

$(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1$

Vi vet att $\frac{a}{c}=\frac{5}{8}$:

$(\frac{5}{8})^2+(\frac{b}{c})^2=1$

Subtrahera:

$(\frac{b}{c})^2=1-\frac{25}{64}$

Förenkla:

$(\frac{b}{c})^2=\frac{39}{64}$

Och så vidare ...

Tack så mycket, ska testa det och återkommer!

Tack!

Bra, säg till när du har gjort det så kan vi visa kopplingen till "trigonometriska ettan", med vars hjälp uppgifter av denna typen går att lösa enklare och snabbare.

Nu har jag gjort uppgiften igen med andra tal och följt det du skrev ovan. Efter det sista steget tar jag då roten ur i högerled så att det blir b/c?

Ja, det stämmer.

Du får då $\frac{b}{c}=\pm\sqrt{\frac{57}{121}}=\pm\frac{\sqrt{57}}{11}$, där endast den positiva roten ör relevant.

Fråga: Varför är endast den positiva roten relevant?

Koppling mellan Pythagoras sats och "trigonometriska ettan":

Utgå från

$a^2+b^2=c^2$

Dividera med $c^2$ och skriv om med hjälp av potenslag:

$(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1$

Med $\frac{a}{c}=\sin(v)$ och $\frac{b}{c}=\cos(v)$ får vi

$(\sin(v))^2+(\cos(v))^2=1$

Detta kan även skrivas

$\sin^2(v)+\cos^2(v)=1$

Detta väldigt användbara samband gäller för alla vinklar $v$ och kallas "Trigonometriska ettan".