En till problem med max och min (partiella derivator)

dajamanté skrev:

Så som vanligt måste undersökas:

1. randpunkter (nu gäller det en triangel)

2. punkter där funktion är inte deriverbar.

3. punkter där $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{{\displaystyle \partial f}}{{\displaystyle \partial y}}$ är noll samtidigt, om jag förstådd era förklaring i f.d tråd.

 

2. är det inga problem med, vi har en snäll polynom.

 

Jag hittade 4 kandidater, men inga max. Punkter på randpunkten c i figuren fyller inte villkorna som vi är angiven, att både $x,y\ge 0$

 

Jag ber om ursäkt för papperslösning, har lite ont om tid :(.

 

Slarvfel. Det ska vara (0, -1/4) på slutet.

Tack Yngve!

Det är alldeles rätt. Det blir inte något kritisk punkt heller va?

dajamanté skrev:

Tack Yngve!

Det är alldeles rätt. Det blir inte något kritisk punkt heller va?

 Just det, eftersom den enda stationära punkten ligger utanför området kan vi ignorera denna.

Då är det bara randpunkterna kvar. Du har ställt upp rätt ekvationer (dock har du klantat dig när du löst hypotenusaekvationen), men du har glömt definitionsmängderna. Definitionsmängden för alla randfunktionerna blir ju $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1$ och $0 \leq t \leq 1$ om de ska hamna inom området. Du måste alltså hitta extrempunkterna för dessa funktioner inom intervallet. Vissa av funktionerna har inga punkter där derivatan blir noll inom dessa intervall, och då blir det största eller minsta värdet en av ändpunkterna.

$f(x,0)=3x-4x^3\ \{0 \leq x \leq 1\}$

$f(0,y)=0\ \{0 \leq y \leq 1\}$

$f(t,1-t)=-4t^3-12t^2+15t\ \{0 \leq t \leq 1\}$

AlvinB skrev:

Då är det bara randpunkterna kvar. Du har ställt upp rätt ekvationer (dock har du klantat dig när du löst hypotenusaekvationen),

What? Why?

Jag hittar också $f(t, t-1)=-4t^3-12t^2+15t$, menar du annanstans?:

Edit efter kaffe: ok, du menar kanske att jag klantrade mig i derivata? Är det det Yngve menade igår med slarvet?

men du har glömt definitionsmängderna. Definitionsmängden för alla randfunktionerna blir ju $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1$ och $0 \leq t \leq 1$ om de ska hamna inom området.

För att... det är längden på kateterna?

Du måste alltså hitta extrempunkterna för dessa funktioner inom intervallet. Vissa av funktionerna har inga punkter där derivatan blir noll inom dessa intervall, och då blir det största eller minsta värdet en av ändpunkterna.

Största ''What? Why?'' här.

$f(x,0)=3x-4x^3\ \{0 \leq x \leq 1\}$

$f(0,y)=0\ \{0 \leq y \leq 1\}$

$f(t,1-t)=-4t^3-12t^2+15t\ \{0 \leq t \leq 1\}$

 Så det är bara att ploppa in $f(1,0)$ i den första, $f(0,1)$ i den andra, och ...kasta bort den tredje eftersom derivata gav en punkt som är utanför vilkorna?

Useless Edit 2 efter kaffe:

Jag försökte räkna derivata av $f(x,0)=3x-4x^3\ \{0 \leq x \leq 1\}$ och räkna $f(t,1-t)=-4t^3-12t^2+15t\ \{0 \leq t \leq 1\}$ med den ny punkt $t=\frac12$ , $1-t=\frac12$

Men rätt svaren verkar inte vara -1 och 4. Jag har ingen aning om vad jag gör 😳.

dajamanté skrev:

men du har glömt definitionsmängderna. Definitionsmängden för alla randfunktionerna blir ju $0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 1$ och $0 \leq t \leq 1$ om de ska hamna inom området.

För att... det är längden på kateterna?

Just det. Katetrarna går ju från $(0,0)$ till $(0,1)$ och $(0,0)$ till $(1,0)$ och hypotenusan går från $(1,0)$ till $(0,1)$. Om du låter någon av dessa koordinater vara mindre än noll eller större än ett hamnar man alltså utanför hypotenusan.

Du måste alltså hitta extrempunkterna för dessa funktioner inom intervallet. Vissa av funktionerna har inga punkter där derivatan blir noll inom dessa intervall, och då blir det största eller minsta värdet en av ändpunkterna.

Största ''What? Why?'' här.

$f(x,0)=3x-4x^3\ \{0 \leq x \leq 1\}$

$f(0,y)=0\ \{0 \leq y \leq 1\}$

$f(t,1-t)=-4t^3-12t^2+15t\ \{0 \leq t \leq 1\}$

 Så det är bara att ploppa in $f(1,0)$ i den första, $f(0,1)$ i den andra, och ...kasta bort den tredje eftersom derivata gav en punkt som är utanför vilkorna?

Useless Edit 2 efter kaffe:

Jag försökte räkna derivata av $f(x,0)=3x-4x^3\ \{0 \leq x \leq 1\}$ och räkna $f(t,1-t)=-4t^3-12t^2+15t\ \{0 \leq t \leq 1\}$ med den ny punkt $t=\frac12$ , $1-t=\frac12$

Men rätt svaren verkar inte vara -1 och 4. Jag har ingen aning om vad jag gör 😳.

 Okej, så här. Vi har tre funktioner som beskriver randen (kanten) till vår triangel:

$f(x,0)=3x-4x^3\ \{0 \leq x \leq 1\}$

$f(0,y)=0\ \{0 \leq y \leq 1\}$

$f(t,1-t)=-4t^3-12t^2+15t\ \{0 \leq t \leq 1\}$

Vi skall undersöka var högsta och lägsta punkten till dessa funktioner ligger inom deras intervall. Var och en av dessa funktioner är en envariabelfunktion, så man kan göra precis som man gjorde i Matte 3 på gymnasiet för att hitta största och minsta värde.

Jag tar $f(x,0)$-funktionen som exempel, så får du göra de andra själv.

Vi börjar med att kolla extrempunkterna till funktionen $3x-4x^3$. Dessa blir (som du gjort i din uträkning):

$x=\pm \frac{1}{2}$

Den negativa punkten $x=-1/2$ ligger utanför intervallet $0 \leq x \leq 1$, så den struntar vi i. Då har vi $x=1/2$ som extrempunkt. Vi kan använda andraderivatan för att ta reda på om det är en minimi- eller maximipunkt.

$f_{x}''(x,0)=-24x \rightarrow f_{x}''(\frac{1}{2},0)=-12$

Eftersom andraderivatan är negativ kan vi konstatera att $x=1/2$ är en maximipunkt. Värdet på funktionen blir:

$f(\frac{1}{2},0)=1$

Den andra möjligheten för en maximi- eller minimipunkt är intervallets ändpunkter. De ger:

$f(0,0)=0$

$f(1,0)=-1$

För funktionen $f(x,0)=3x-4x^3\ \{0 \leq x \leq 1\}$ (d.v.s. katetern i x-led) har vi alltså $(\frac{1}{2},0,1)$, $(0,0,0)$ och $(1,0,-1)$ som kandidater för maximi- och minimipunkt. Alltså är det största funktionsvärdet $1$ och det minsta är $-1$ på denna kateter. Gör nu om samma process för att ta reda på max- och minimivärde på de andra två sidorna av triangeln och jämför värdena för att hitta det högsta respektive lägsta på hela triangeln.

Ok, jag tror jag förstår.

Vi kollar på $x$-katet:

$$\begin{gathered} f(x,0)=3x-4x^3 \\ f(0,0)=0 \\ f(1,0)=-1 \end{gathered}$$

Vi deriverar $x$-katet funktion:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x,0\right)=3-12x^2 \\ =\pm \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Vi testar $f(0.5,0)=1$

Vi kollar på $y$-katet:

$f(0,y)=0$ (allt blir noll så det är klart)

Och på den tredje katet med:

$f(t,1-t) = -4t^3-12t^2+15t$. Med derivatan $f\text{'}=-12t^2-24t+15$ som har nollställena $\frac{-2\pm \sqrt{9}}{2}=\frac{1}{2},-\frac{5}{2}$ får vi en punkt som respekterar vilkorna, $\frac{1}{2}.$$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ så:

 $f(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=3\frac{1}{2}-4\frac{1}{2^3}+12\frac{1}{2}·\frac{1}{2}=4$

Och till slut måste vi titta i kötet av triangel, dvs punkten där $\frac{{\displaystyle \partial f}}{{\displaystyle \partial x}},\frac{\partial f}{\partial y}$ är noll samtidigt. Dvs punkten $x=0, y=-\frac{1}{4}$ som vi inte behöver undersöka pga $y$ som är mindre än noll.

Så min: -1, max=4.

Just precis.

En liten sak du säger fel på är att du kallar alla triangelns sidor för katetrar. En rätvinklig triangel har bara två katetrar, den längsta sidan kallas för hypotenusa.

EDIT: Det kan också vara bra att studera den tredimensionella grafen för att få lite mer utav en helhetsbild:

Det ser bra ut och verkar stämma, med ögonmått ser vi att funktionsytan är runt -1 vid (1,0) och max 4 vid (0.5,0.5)

Funktionen f(x,y)=3x-4x³+12xy över ett triangelområde i första kvadranten

AlvinB skrev:

 

 Magnificent. Skicka länken (eller mathematica koden) för den här flamboyerande igelkotten!

Guggle skrev:

Det ser bra ut och verkar stämma, med ögonmått ser vi att funktionsytan är runt -1 vid (1,0) och max 4 vid (0.5,0.5)

Funktionen f(x,y)=3x-4x³+12xy över ett triangelområde i första kvadranten

Länken till den underbara Ost-Segel? 

dajamanté skrev:

Guggle skrev:

Det ser bra ut och verkar stämma, med ögonmått ser vi att funktionsytan är runt -1 vid (1,0) och max 4 vid (0.5,0.5)

Funktionen f(x,y)=3x-4x³+12xy över ett triangelområde i första kvadranten

Länken till den underbara Ost-Segel? 

Päjsta in följande kod i Mathematica:

f[x_, y_] := 3 x - 4 x^3 + 12 x*y;
R = ImplicitRegion[{x >= 0, y >= 0, x + y <= 1}, {x, y}];
FindMaximum[{f[x, y], {x, y} \[Element] R}, {x, y}]
FindMinimum[{f[x, y], {x, y} \[Element] R}, {x, y}]
Plot3D[f[x, y], {x, y} \[Element] R]

Du får då Maxpunktens värde, maxpunkten, minpunktens värde, minpunkten och det vackra ost-seglet.

Klicka på grafen och dra runt den för att undersöka hur ytan ser ut. Du kan zooma in, förstora bilden osv.

Jag testar! 

Edit: fantastisk ost-segel. Till och med koden är klockren, jag förstår liksom. Tack!

Måste också ha den gaypride färgade igelkott!

Förresten @AlvinB, mitt öronbedövande tystnaden kring affären ''hypo-kateten'' kan tillskrivas till skammen.

dajamanté skrev:

 

Måste också ha den gaypride färgade igelkott!

 Visst kan du få min igelkott, men jag måste säga att Guggles ostsegel var snyggare.

https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/?expression=if(x%2By%3C1%2C3x-4x*x*x%2B12*x*y)&xRange=0%2C1&yRange=0%2C1&resolution=75

Förresten @AlvinB, mitt öronbedövande tystnaden kring affären ''hypo-kateten'' kan tillskrivas till skammen.

En tystnad är väl knappast öronbedövande, men jag fattar galoppen. :-)

Fint! Så dem varma område illustrerar den högsta värde, och den mörkblå minimala?

Haha jo, det är en mycket vanligt fransk uttryck för att understrycka hur pinsamt eller hur talande en tystnad är (jag borde få Göteborgpriset för detta!).

I den här ändan:

Othello: Din öronbedövande tystnad berättar allt jag behöver veta om vad pågår mellan Dig och Tupak!!

Desdemona: Det är inte vad du tror, Ottis! Han är bara en mycket bättre rappare ...

Och blablablbla, du förstår.

"öronbedövande tystnad" är ett väl etablerat uttryck på svenska också (och engelska 'deafening silence') så det är bara att fortstätta använda det.

joculator skrev:

"öronbedövande tystnad" är ett väl etablerat uttryck på svenska också (och engelska 'deafening silence') så det är bara att fortstätta använda det.

Det stämmer. Däremot är uttrycket "fortstätta använda" fortfarande i etableringsfas och saknar ännu allmän acceptans, så just det uttrycket bör vi avhålla oss ifrån tills vidare 😉

joculator skrev:

"öronbedövande tystnad" är ett väl etablerat uttryck på svenska också (och engelska 'deafening silence') så det är bara att fortstätta använda det.

 Intressant. Detta har jag aldrig hört talas om. :-)

@dajamanté: Ja, det stämmer. De röda delarna har störst värde och de mörkblå har minst värde.

Yngve skrev:

joculator skrev:

"öronbedövande tystnad" är ett väl etablerat uttryck på svenska också (och engelska 'deafening silence') så det är bara att fortstätta använda det.

Det stämmer. Däremot är uttrycket "fortstätta använda" fortfarande i etableringsfas och saknar ännu allmän acceptans, så just det uttrycket bör vi avhålla oss ifrån tills vidare 😉

 Jag är en rebell!   :-)

Jag fick läsa uttrycket "fortstätta använda" 3 ggr innan jag såg det extra t-et.

Vissa av oss är petimätrar, andra är rebeller.

The future belongs to the rebels!

Yngve skrev:

Vissa av oss är petimätrar, andra är rebeller.

The future belongs to the rebels!

Svaret till den här fråga får vi i 2019.

Olidligt väntan fortstätter!