17 svar
1928 visningar
Tompalomp 187
Postad: 17 jan 2023 15:37

En termos fylls med hett kaffe och placeras direkt utomhus

Hejsan, ville bara dubbelkolla att jag har tänkt rätt här. 

Vi letar efter en funktion där temperaturen avtar exponentiellt. Alltså är temperaturen en funktion av tiden, f(t). 

Den avtar exponentiellt, så kan vi anta att det är en negativ -x2 funktion, med formeln f(t)=-x2+bx+c. Vi har redan koordinater, y=76 grader och x=4 timmar. Och vi vet att funktionen är symmetrisk med y-axeln, eftersom det bara avtar exponentiellt, så b=0. 

Detta ger oss:

(76)=-(4)2+c76=-16+cc=92

Funktionen skär y-axeln vid y=92, alltså var kaffet 92 grader celsius när den ställdes utanför. 

För att hitta hur många timmar kaffet kan drickas före det understiger 55 grader tar vi y=55, och hittar x-värdet.

y=55 ger

55=-x2+92-37=-x2x2=37x=37x6

Alltså är kaffet drickbart till ungefär 6 timmar efter kaffet hälldes i termosen. 

 

Har jag gjort rätt? Jag använde mig aldrig av att temperaturen minskades med 4,1 vid timme 4. Detta betyder ju att y'(4)=-4,1 och det använde jag aldrig. Det känns konstigt...

Har jag gjort fel här någonstans?

Ture 10437 – Livehjälpare
Postad: 17 jan 2023 15:43

att det avtar exponentiellt betyder att vi kan skriva temperaturen sfa tiden med en exponentialfunktion dvs av typen

T(t) = C*at

Där C och a är konstanter som ska bestämmas och t är vår variabel, tiden.

Tompalomp 187
Postad: 17 jan 2023 15:53 Redigerad: 17 jan 2023 15:53

Oj, jag var helt off då. Hur kan jag ta reda på C och a?

Det info jag har är koordinaterna (4,76) och derivatan av f'(4)=-4,1. 

Om jag lägger in koordinaterna i formeln får jag

f(t)=C·at76=C·a4

Vet inte riktigt hur jag ska fortsätta. Ska jag göra något med derivatan?

Ture 10437 – Livehjälpare
Postad: 17 jan 2023 15:59

Bra så långt

Derivatan är också rätt tänkt

Derivatan ger förändringshastigheten, som var given vid t = 4 

Tompalomp 187
Postad: 17 jan 2023 16:04

Okej, vad är nästa steg? Jag förstår inte hur jag ska fortsätta med två variabel?

Ture 10437 – Livehjälpare
Postad: 17 jan 2023 16:06

Du har bara en variabel nämligen t.

Du har två konstanter du ska bestämma, då behöver du två ekvationer.

en har du nämligen 76=Ca4

den andra får med hjälp av derivatan.

Derivera funktionen och utnyttja att du vet förändringshastigheten vid t = 4

Tompalomp 187
Postad: 17 jan 2023 16:14

hmm. okej. lite förvirrad här men ska göra och se om jag fattar. 

f(t)=C·atf'(t)=atf'(4)=-4,1 -4,1=a4-4,10,25=aa-1,4

 

Detta känns extremt fel.

Ture 10437 – Livehjälpare
Postad: 17 jan 2023 16:16

Helt riktig känsla...

Derivatan av Cat är C*ln(a)*at

Tompalomp 187
Postad: 17 jan 2023 16:25

Ha, whoops. Just det. Okej, försöker igen. 

f(t)=C·atf'(t)=C·at·ln(a)f'(4)=-4,1-4,1=C·a4·ln(a)C=-4,1a4·ln(a)

sen ska jag sätta in detta i den andra formeln?

Ture 10437 – Livehjälpare
Postad: 17 jan 2023 16:39 Redigerad: 17 jan 2023 16:41

Japp!

(En smidig väg att lösa  den här typen av ekvationssystem är att dela de två ekvationerna ledvis, det blir givetvis samma svar men risken att göra fel brukar minska)

Jag visar i spoilern

Visa spoiler

 76=Ca4

-4,1 = Ca4ln(a)

dela ledvis så får vi

-4,1/76= ln(a)  osv

(hoppas jag hann redigera innan du läste det jag gjorde först, apropå minskad risk att göra fel...)

Tompalomp 187
Postad: 17 jan 2023 17:06

Jaha, okej. Men då fortsätter jag. 

76=C·a4C=-4,1a4·ln(a)76=(-4,1a4·ln(a))·a476=-4,1·a4a4·ln(a)76=-4,1ln(a)76·ln(a)=-4,1ln(a)=-4,176eln(a)=e-4,176a=e-4,176

 

Återigen känns detta oerhört fel. Har jag gjort något konstig misstag någonstans?

Ture 10437 – Livehjälpare
Postad: 17 jan 2023 17:10

Jag tycker det verkar lovande, fortsätt med att lösa ut C (ta fram ett närmevärde på a först)

Tompalomp 187
Postad: 17 jan 2023 17:14

Förlåt men hur skulle jag ta ut ett närmevärde för a igen?

Har gjort ungefär 9 timmar i rad av matte nu. Min hjärna är inte helt med längre. 

Ture 10437 – Livehjälpare
Postad: 17 jan 2023 17:36

Du har fått fram

a=e-(4,1/76)

slå det på räknaren! 

Tompalomp 187
Postad: 17 jan 2023 18:12

a=e-4,176a0,947

 

C=-4,10,9474·ln(0,947)C=-4,1-0,0435C94,304

 

Kaffet är alltså ungefär 94,3 grader när den hälls i termosen. 

Och hur länge hålls kaffet drickbart, dvs. inte understiger 55 grader. 

55=94·(e-4,176)t -39=(e-4,176)t

Är jag på rätt spår?

Ture 10437 – Livehjälpare
Postad: 17 jan 2023 18:33

Nu är det nog dags att du tar rast!

Hur fick du -39 på sista raden?!

55/94 känns mer rätt!

Tips: använd det framräknade närmevärdet på a istället för det jobbiga exponentuttrycket!

Tompalomp 187
Postad: 17 jan 2023 19:40

Ojojoj, mycket slarv fel nu. Riktigt trött :P

5594=0,947t

Hur går jag vidare här? 

Ture 10437 – Livehjälpare
Postad: 17 jan 2023 20:03

Logaritmera bägge led! 

Svara
Close