En termos fylls med hett kaffe och placeras direkt utomhus

att det avtar exponentiellt betyder att vi kan skriva temperaturen sfa tiden med en exponentialfunktion dvs av typen

T(t) = C*a^t

Där C och a är konstanter som ska bestämmas och t är vår variabel, tiden.

Oj, jag var helt off då. Hur kan jag ta reda på C och a?

Det info jag har är koordinaterna (4,76) och derivatan av f'(4)=-4,1. 

Om jag lägger in koordinaterna i formeln får jag

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=C·a^t \\ 76=C·a^4 \end{gathered}$$

Vet inte riktigt hur jag ska fortsätta. Ska jag göra något med derivatan?

Bra så långt

Derivatan är också rätt tänkt

Derivatan ger förändringshastigheten, som var given vid t = 4 

Okej, vad är nästa steg? Jag förstår inte hur jag ska fortsätta med två variabel?

Du har bara en variabel nämligen t.

Du har två konstanter du ska bestämma, då behöver du två ekvationer.

en har du nämligen 76=Ca⁴

den andra får med hjälp av derivatan.

Derivera funktionen och utnyttja att du vet förändringshastigheten vid t = 4

hmm. okej. lite förvirrad här men ska göra och se om jag fattar. 

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=C·a^t \\ f\text{'}\left(t\right)=a^t \\ f\text{'}\left(4\right)=-4,1 \\ -4,1=a^4 \\ {\left(-4,1\right)}^{0,25}=a \\ a\approx -1,4 \end{gathered}$$

Detta känns extremt fel.

Helt riktig känsla...

Derivatan av Ca^t är C*ln(a)*a^t

Ha, whoops. Just det. Okej, försöker igen. 

$$\begin{gathered} f\left(t\right)=C·a^t \\ f\text{'}\left(t\right)=C·a^t·\ln \left(a\right) \\ f\text{'}\left(4\right)=-4,1 \\ -4,1=C·a^4·\ln \left(a\right) \\ C=-\frac{4,1}{a^4·\ln \left(a\right)} \end{gathered}$$

sen ska jag sätta in detta i den andra formeln?

Japp!

(En smidig väg att lösa  den här typen av ekvationssystem är att dela de två ekvationerna ledvis, det blir givetvis samma svar men risken att göra fel brukar minska)

Jag visar i spoilern

Jaha, okej. Men då fortsätter jag. 

$$\begin{gathered} 76=C·a^4 \\ C=-\frac{4,1}{a^4·\ln \left(a\right)} \\ 76=(-\frac{4,1}{a^4·\ln \left(a\right)})·a^4 \\ 76=-\frac{4,1·a^4}{a^4·\ln \left(a\right)} \\ 76=-\frac{4,1}{\ln \left(a\right)} \\ 76·\ln \left(a\right)=-4,1 \\ \ln \left(a\right)=-\frac{4,1}{76} \\ {e}^{\ln \left(a\right)}=e^{-\frac{4,1}{76}} \\ a=e^{-\frac{4,1}{76}} \end{gathered}$$

Återigen känns detta oerhört fel. Har jag gjort något konstig misstag någonstans?

Jag tycker det verkar lovande, fortsätt med att lösa ut C (ta fram ett närmevärde på a först)

Förlåt men hur skulle jag ta ut ett närmevärde för a igen?

Har gjort ungefär 9 timmar i rad av matte nu. Min hjärna är inte helt med längre. 

Du har fått fram

a=e^-(4,1/76)

slå det på räknaren! 

$$\begin{gathered} a=e^{-\frac{4,1}{76}} \\ a\approx 0,947 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} C=-\frac{4,1}{0,{947}^4·\ln (0,947)} \\ C=-\frac{4,1}{-0,0435} \\ C\approx 94,304 \end{gathered}$$

Kaffet är alltså ungefär 94,3 grader när den hälls i termosen. 

Och hur länge hålls kaffet drickbart, dvs. inte understiger 55 grader. 

$$\begin{gathered} 55=94·{\left(e^{-\frac{4,1}{76}}\right)}^t \\ -39={\left(e^{-\frac{4,1}{76}}\right)}^t \end{gathered}$$

Är jag på rätt spår?

Nu är det nog dags att du tar rast!

Hur fick du -39 på sista raden?!

55/94 känns mer rätt!

Tips: använd det framräknade närmevärdet på a istället för det jobbiga exponentuttrycket!

Ojojoj, mycket slarv fel nu. Riktigt trött :P

$\frac{55}{94}=0,{947}^t$

Hur går jag vidare här? 

Logaritmera bägge led!