En tangent

Det är rätt att kalla tangeringspunkten för t och inte x, för att inte blanda ihop den med x i tangentens ekvation y = kx+m, men sen händer det i alla fall: y = (4-2t)t +m borde vara y = (4-2t)x+m.

Det börjar bli fel vid "Vi får då att". Problemet här är att du skapar en rät linje i $t$, men riktningstangenten är för en fix punkt. Du blandar ihop $t$ och $t$. 

Tänk så här istället.

Låt $f(x)=4x-x^2$

För en $x=t$ har tangenten i punkten $(t,f(t))$ lutningen $f'(t)$ och tangentens ekvation kan skrivas

$y-f(t)=f'(t)(x-t)$

Då $f(t)=4t-t^2$ och $f'(t)=4-2t$ har vi att

$y-4t+t^2=(4-2t)(x-t)$

Denna tangent skall gå genom $(2,5)$ och punkten skall därmed uppfylla tangentens ekvation;

$5-4t+t^2=(4-2t)(2-t)$

vilket ger $t=1$ eller $t=3$.

Laguna skrev:

Det är rätt att kalla tangeringspunkten för t och inte x, för att inte blanda ihop den med x i tangentens ekvation y = kx+m, men sen händer det i alla fall: y = (4-2t)t +m borde vara y = (4-2t)x+m.

Jaha, så när jag skriver y=kx+m så egentligen vet jag ju bara k-värdet då det samma som derivatan hos kurvan i tangeringspunkten.  Så, efteråt sätter jag in punkten x=2 i ersättning mot det x:et och får ett uttryck jag för m. Uttrycket för m kan tecknas m.h.a av t och sedan sätter jag in t i ersättning mot x för att det ska vara lika med 4t-t². Tack för hjälpen!

Trinity2 skrev:

Det börjar bli fel vid "Vi får då att". Problemet här är att du skapar en rät linje i $t$, men riktningstangenten är för en fix punkt. Du blandar ihop $t$ och $t$. 

Tänk så här istället.

Låt $f(x)=4x-x^2$

För en $x=t$ har tangenten i punkten $(t,f(t))$ lutningen $f'(t)$ och tangentens ekvation kan skrivas

$y-f(t)=f'(t)(x-t)$

Då $f(t)=4t-t^2$ och $f'(t)=4-2t$ har vi att

$y-4t+t^2=(4-2t)(x-t)$

Denna tangent skall gå genom $(2,5)$ och punkten skall därmed uppfylla tangentens ekvation;

$5-4t+t^2=(4-2t)(2-t)$

vilket ger $t=1$ eller $t=3$.

Tack för den fina förklaringen!

Men visst, kan man göra som jag har gjort men bara att jag är försiktigt med x:et. Sedan när jag sätter in punkten (2,5) får jag ut ett uttryck för m med t som variabel. Då får jag y=(4-2t)x-4t-3. Därefter sätter jag in t i ersättning mot x eftersom det var det som var x-värdet i tangeringspunkten. Sedan sätter jag det lika med 4t-t². Kan jag göra så så eftersom jag får samma svar som dig då?

Jag skulle nog satt upp följande ekvation för att hitta tangeringspunkterna:

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=$

$\frac{y(x)-5}{x-2}=\frac{4x-x^2-5}{x-2}=$

$y'(x)=4-2x\Rightarrow$

$4x-x^2-5=(x-2)(4-2x)$

...

tomast80 skrev:

Jag skulle nog satt upp följande ekvation för att hitta tangeringspunkterna:

$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=$

$\frac{y(x)-5}{x-2}=\frac{4x-x^2-5}{x-2}=$

$y'(x)=4-2x\Rightarrow$

$4x-x^2-5=(x-2)(4-2x)$

...

sitter med samma uppgift just nu och förstår inte hur man går vidare efter att man har deriverat funktionen? (jag förstår lösningen med k-värdet men hur kan man lösa uppgiften med derivata) För derivatans lutning är negativ?