19 svar
519 visningar
detrr 2193 – Fd. Medlem
Postad: 3 nov 2018 17:05

En talföljd definieras rekursivt av Pn, undersök vad som händer med Pn för stora n.

Hej, det finns en uppgift i min mattebok som ser ut såhär: 

En talföljd definieras av 

Pn = Pn-1 ·(1,4 - Pn-175) 

 

a) Beräkna P1, P2 , P3.

b) Undersök vad som händer med Pn för stora n. 

 

Jag antar att Pn-1 kommer att vara ett stort tal och parentesen kommer att gå mot ett negativt stort tal. Det här gör att Pn kommer att gå mot - .

Detta är dock fel enligt facit och jag vet inte hur jag då ska tänka för att få fram rätt svar. 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 3 nov 2018 17:14

Fick du något värde för P0P_0? Utan det är inte talföljden entydigt definierad.

Vad fick du för resultat på a-uppgiften? Ser du något mönster? Om inte, beräkna några värden till.

Laguna 30251
Postad: 3 nov 2018 17:23

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

AlvinB 4014
Postad: 3 nov 2018 17:50 Redigerad: 3 nov 2018 17:59
Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Jag vågar hävda att du får samma gränsvärde då nn\to\infty oavsett om P0=1P_0=1 eller om P0=20P_0=20.

Det är nämligen så att talföljden är begränsad då 0P01050\leq P_0\leq105. I fallen P0=0P_0=0 och P0=105P_0=105 blir alla Pn=0P_n=0 och därför går talföljden mot noll. I annat fall kan vi tänka som så att när nn\to\infty kommer PnP_n:s gränsvärde kk att vara k=Pn=Pn-1k=P_n=P_{n-1}. Ur relationen

Pn=Pn-1(1,4-Pn-175)P_n=P_{n-1}(1,4-\dfrac{P_{n-1}}{75})

får man då ekvationen

k=k(1,4-k75)k=k(1,4-\dfrac{k}{75})

Ur detta går det att lösa ut PnP_n:s gränsvärde kk ifall 0<P0<1050<><>

Laguna 30251
Postad: 3 nov 2018 17:54

Jag menade bara att P0 kanske var så valt i uppgiften att man såg en tendens redan efter tre, fyra iterationer. 

AlvinB 4014
Postad: 3 nov 2018 17:59
Laguna skrev:

Jag menade bara att P0 kanske var så valt i uppgiften att man såg en tendens redan efter tre, fyra iterationer. 

 Ja, det kanske är tänkt att man ska pröva sig fram och se gränsvärdet. Själv tycker jag att det är lite tramsig uppgift om man inte lär ut något annat sätt än att bara pricka ut en massa punkter och pröva sig fram. Särskilt eftersom teorin bakom det jag gjorde inte är så jättesvår att lära ut till en Matte 5-student.

detrr 2193 – Fd. Medlem
Postad: 3 nov 2018 19:31 Redigerad: 3 nov 2018 19:32
Smaragdalena skrev:

Fick du något värde för P0P_0? Utan det är inte talföljden entydigt definierad.

Vad fick du för resultat på a-uppgiften? Ser du något mönster? Om inte, beräkna några värden till.

 Ja, jag måste ha glömt att skriva det. P0  = 10 

 

Och på a) uppgiften fick jag att

 P1 = 12,66...P2 = 15,59...P3 = 18,58...

detrr 2193 – Fd. Medlem
Postad: 3 nov 2018 19:37
Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Hur ska jag pricka in de i ett koordinatsystem? Att man har ordningsnumret på x-axeln och Pn på y-axeln? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 3 nov 2018 19:40

Hur ska jag pricka in de i ett koordinatsystem? Att man har ordningsnumret på x-axeln och Pn på y-axeln?

Så skulle jag göra.

detrr 2193 – Fd. Medlem
Postad: 3 nov 2018 19:41
AlvinB skrev:
Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Jag vågar hävda att du får samma gränsvärde då nn\to\infty oavsett om P0=1P_0=1 eller om P0=20P_0=20.

Det är nämligen så att talföljden är begränsad då 0P01050\leq P_0\leq105. I fallen P0=0P_0=0 och P0=105P_0=105 blir alla Pn=0P_n=0 och därför går talföljden mot noll. I annat fall kan vi tänka som så att när nn\to\infty kommer PnP_n:s gränsvärde kk att vara k=Pn=Pn-1k=P_n=P_{n-1}. Ur relationen

Pn=Pn-1(1,4-Pn-175)P_n=P_{n-1}(1,4-\dfrac{P_{n-1}}{75})

får man då ekvationen

k=k(1,4-k75)k=k(1,4-\dfrac{k}{75})

Ur detta går det att lösa ut PnP_n:s gränsvärde kk ifall 0<><>0<><>

är alltså gränsvärdet, men varför likställer man k = Pn = Pn-1 ? Och hur kan de vara lika? 

detrr 2193 – Fd. Medlem
Postad: 3 nov 2018 19:42
Smaragdalena skrev:

Hur ska jag pricka in de i ett koordinatsystem? Att man har ordningsnumret på x-axeln och Pn på y-axeln?

Så skulle jag göra.

 Okej, jag kan börja med att pricka in de fyra första jag har. Men hur vet jag hur många jag ska pricka in? 

AlvinB 4014
Postad: 3 nov 2018 19:42
detrr skrev:
Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Hur ska jag pricka in de i ett koordinatsystem? Att man har ordningsnumret på x-axeln och Pn på y-axeln? 

 Just det. Du kommer se att värdena planar av mot ett värde för PnP_n.

AlvinB 4014
Postad: 3 nov 2018 19:51 Redigerad: 3 nov 2018 19:52
detrr skrev:
AlvinB skrev:
Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Jag vågar hävda att du får samma gränsvärde då nn\to\infty oavsett om P0=1P_0=1 eller om P0=20P_0=20.

Det är nämligen så att talföljden är begränsad då 0P01050\leq P_0\leq105. I fallen P0=0P_0=0 och P0=105P_0=105 blir alla Pn=0P_n=0 och därför går talföljden mot noll. I annat fall kan vi tänka som så att när nn\to\infty kommer PnP_n:s gränsvärde kk att vara k=Pn=Pn-1k=P_n=P_{n-1}. Ur relationen

Pn=Pn-1(1,4-Pn-175)P_n=P_{n-1}(1,4-\dfrac{P_{n-1}}{75})

får man då ekvationen

k=k(1,4-k75)k=k(1,4-\dfrac{k}{75})

Ur detta går det att lösa ut PnP_n:s gränsvärde kk ifall 0<><>0<><>

är alltså gränsvärdet, men varför likställer man k = Pn = Pn-1 ? Och hur kan de vara lika? 

 Vi är under antagandet att gränsvärdet för PnP_nnn\to\infty existerar. Då kommer skillnaderna successivt bli mindre och mindre mellan varje PnP_n-värde. Alltså, när nn blir större och större kommer PnPn-1P_n\approx P_{n-1}. När man låter nn gå mot oändligheten får man en exakt likhet att Pn=Pn-1P_n=P_{n-1}.

Eftersom det blir rörigt om PnP_n både skall representera gränsvärdet när nn\to\infty och samtidigt ett tal godtyckligt tal i talföljden kallar vi gränsvärdet i oändligheten för kk. Då får vi ekvationen

k=k(1,4-k75)k=k(1,4-\dfrac{k}{75})

som har två lösningar varav en som är giltig då P0=10P_0=10. Du kommer även se att punkterna närmar sig detta kk-värdena när du ritar ut dem vilket kan vara bra för att verifiera ditt resultat.

detrr 2193 – Fd. Medlem
Postad: 3 nov 2018 19:57

För de 20 första talen fick jag detta resultat när jag prickade in de i ett koordinatsystem: 

detrr 2193 – Fd. Medlem
Postad: 3 nov 2018 19:59 Redigerad: 3 nov 2018 20:00
AlvinB skrev:
detrr skrev:
AlvinB skrev:
Laguna skrev:

Man kan behöva ganska många värden till. Men pricka in värdena i ett koordinatsystem så ser man en tendens efter ett tag.

 

Nu antog jag visserligen P0 = 1. Man kanske börjar med P0 = 20.

 Jag vågar hävda att du får samma gränsvärde då nn\to\infty oavsett om P0=1P_0=1 eller om P0=20P_0=20.

Det är nämligen så att talföljden är begränsad då 0P01050\leq P_0\leq105. I fallen P0=0P_0=0 och P0=105P_0=105 blir alla Pn=0P_n=0 och därför går talföljden mot noll. I annat fall kan vi tänka som så att när nn\to\infty kommer PnP_n:s gränsvärde kk att vara k=Pn=Pn-1k=P_n=P_{n-1}. Ur relationen

Pn=Pn-1(1,4-Pn-175)P_n=P_{n-1}(1,4-\dfrac{P_{n-1}}{75})

får man då ekvationen

k=k(1,4-k75)k=k(1,4-\dfrac{k}{75})

Ur detta går det att lösa ut PnP_n:s gränsvärde kk ifall 0<><>0<><>

är alltså gränsvärdet, men varför likställer man k = Pn = Pn-1 ? Och hur kan de vara lika? 

 Vi är under antagandet att gränsvärdet för PnP_nnn\to\infty existerar. Då kommer skillnaderna successivt bli mindre och mindre mellan varje PnP_n-värde. Alltså, när nn blir större och större kommer PnPn-1P_n\approx P_{n-1}. När man låter nn gå mot oändligheten får man en exakt likhet att Pn=Pn-1P_n=P_{n-1}.

Eftersom det blir rörigt om PnP_n både skall representera gränsvärdet när nn\to\infty och samtidigt ett tal godtyckligt tal i talföljden kallar vi gränsvärdet i oändligheten för kk. Då får vi ekvationen

k=k(1,4-k75)k=k(1,4-\dfrac{k}{75})

som har två lösningar varav en som är giltig då P0=10P_0=10. Du kommer även se att punkterna närmar sig detta kk-värdena när du ritar ut dem vilket kan vara bra för att verifiera ditt resultat.

 Hur vet man att skillnaden mellan varje Pn-värde kommer att bli mindre och mindre? Jag såg det när jag ritade mitt koordinatsystem att skillnaden blev mindre och mindre men hur veta det utan att rita ett koordinatsystem?

AlvinB 4014
Postad: 3 nov 2018 20:10 Redigerad: 3 nov 2018 20:16

Att skillnaden mellan PnP_n-värdena minskar är ett krav för att talföljden ska närma sig ett visst värde. Minskar skillnaden inte går talföljden mot plus eller minus oändligheten.

Om detta skulle varit på universitetsnivå skulle man nog krävt ett bevis (förslagsvis med induktion) för att PnP_n faktiskt är begränsad, men på gymnasienivå är det väl acceptabelt att bara anta det.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 3 nov 2018 20:12

Hur vet man att skillnaden mellan varje Pn-värde kommer att bli mindre och mindre?

Om man vet att det finns ett gränsvärde, så måste det vara så.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 3 nov 2018 20:43 Redigerad: 3 nov 2018 20:44

Hej!

Anta att det finns ett tal pp sådant att p=limnPn.p = \lim_{n\to \infty}P_n. Vilket är isåfall detta tal?

Enligt rekursionen ska detta tal uppfylla ekvationen

    p=p(1,4-p/75)p-p(1,4-p/75)=0p=0ellerp=0,4·75.p=p(1,4-p/75) \iff p-p(1,4-p/75) = 0 \iff p=0 \,eller\, p=0,4\cdot 75.

Är p=0p=0 rimligt? Om inte så måste gränsvärdet vara 3030, om det överhuvudtaget existerar.

detrr 2193 – Fd. Medlem
Postad: 3 nov 2018 21:57

Okej, då har jag förstått det. 

 

Nu till nästa problem. Om man tittar på det här igen: 

k = k1,4 - k75 hur skulle man få fram utan koordinatsystemet? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 3 nov 2018 22:03 Redigerad: 3 nov 2018 22:04

Lös ekvationen k=k(1,4-k75)k=k(1,4-\frac{k}{75}).

Svara
Close