En stjärnas rörelse

Epersson88 skrev:

Vilovåglängderna (dvs. när stjärnan står still) för Balmerseriens linjer är följande:

$$\begin{gathered} H_{\alpha }\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}656,272 nm \\ {H}_{\beta } =\hspace{0.17em}486,133 nm \\ {H}_{\gamma } =\hspace{0.17em}434,047 nm \\ {H}_{\delta } =\hspace{0.17em}410,174 nm \end{gathered}$$

Vid en spektralmätning av en stjärna mätte man upp våglängden för $H_{\beta }$ till 486,157 nm.

a)     Hur stor är stjärnans radiella hastighet i förhållande till jorden? Med radiell hastighet menas att hastighetens riktning är en förlängning av Jordens radie mot stjärnan. Med andra ord ”rakt mot eller ifrån” Jorden.

b)    Var rörelsen riktad mot eller från oss?

 

Någon som kan förklara hur man ska tänka? Jag tänker att det handlar om rödförskjutning och började därför med att räkna ut z med formeln $z =\hspace{0.17em}\frac{\lambda -{\lambda }_0}{{\lambda }_0} =\hspace{0.17em}\frac{486,157*{10}^{-9} - 486,133*{10}^{-9}}{486,133*{10}^{-9}}\approx 4,94 *\hspace{0.17em}{10}^{-5}$

I formelboken finns dock, så vitt jag kan se, ingen formeln för hur jag använder detta värde för z för att räkna ut en hastighet. Jag tänker att det handlar om en dopplereffekt, och rimligtvis bör stjärnan därför röra sig bort från jorden eftersom den observerade våglängden är större än den som stjärnan sänder ut om/när den är stillastående.

Jag har två formler för dopplereffekten, den ena om vågkällan är i rörelse (stjärnan i det här fallet) och den andra om observatören (jag/jorden) är i rörelse. Jag är lite osäker på vad jag ska använda för rör vi oss inte båda två? Jorden roterar ju och stjärnan bör också ha en hastighet... Inga av dessa formler bygger på z, utan på observerade och utsända frekvenser, så det går ju att göra om mina våglängdsuppgifter till dessa frekvenser. Dock så innehåller båda formler två olika hastigheter, v och u, där u verkar vara vågkällans respektive observatörens hastighet. Är v ljusets hastighet då?

Känner mig lite lost, och med tanke på att poängen på uppgiften signalerar att detta är en enkel fråga (bara E-poäng) funderar jag på om jag krånglat till det?

Det är rätt tänkt. Att jorden roterar har ingen betydelse, för den rörelsen sker inte i riktning mot stjärnan. Man kan betrakta antingen jorden eller stjärnan som stilla, det spelar ingen roll. Jag har inte formlerna framför mig, men om de inte är identiska så ger de i alla fall nästan samma svar. u är den relativa hastigheten mellan jorden och stjärnan, och v är ljushastigheten.

Edit: jordens rotation kan visst ha en komponent i stjärnans riktning, men det gör mycket liten skillnad i sammanhanget.

Den formeln jag tänker att jag ska använda, som bygger på att vågkällan rör sig med hastigheten u, som i sin tur är mindre än v, ser ut såhär:

f' = $f\times \frac{v}{v-u}$ där f' är den observerade frekvensen och f den utsända.

Ur detta får jag att u = v-$\frac{fv}{f\text{'}}$

Eftersom f = $\frac{c}{\lambda }$ tar jag fram värden för f och f' med hjälp av de kända våglängderna, och när jag stoppar in värdena i formeln ovan får jag ett svar som är ungefär - 14810 m/s. Att svaret är negativt betyder ju alltså att stjärnan rör sig bort från jorden, men det listade jag ju ut bara genom att se att den observerade våglängden var längre än den utsända. Låter detta som ett rimligt svar?

Det verkar rimligt.

Här kommer en förklaring av hur jag gjorde, till Alex. 

Jag använder mig av formeln för doppler-effekten som grundar sig på att objektet som sänder ut vågen är i rörelse, alltså stjärnan i det här  fallet.

Formeln ser ut såhär:

$f\text{'} = f\times \frac{v}{v-u}$ där f'=den observerade frekvensen, f=den utsända frekvensen, v=ljusets hastighet och u=stjärnans hastighet.

Det är alltså u vi vill ta reda på så vi skriver om formeln:

$$\begin{gathered} f\text{'}(v-u)=fv \\ f\text{'}v-f\text{'}u=fv \\ f\text{'}u=f\text{'}v-fv \\ u=v-\frac{fv}{f\text{'}} \end{gathered}$$

Eftersom jag känner till v använder jag de två våglängderna jag känner till för att ta fram motsvarande frekvenser.

Den observerade våglängden är 486,157$\times {10}^{-9}$ och med formeln f=$\frac{c}{\lambda }$ får jag då fram den observerade frekvensen f'.

$f\text{'}=\frac{3\times {10}^8}{486,157\times {10}^{-9}}Hz$

På samma sätt räknar jag ut den utsända frekvensen med hjälp av den utsända våglängden:

$f = \frac{3\times {10}^8}{486,133\times {10}^{-9}}$Hz

Sedan stoppar jag bara in dessa värden i formeln för u, tillsammans med värdet för v, $3\times {10}^8$.

Nej detta är fel, du använder akustiska doppler nu. Den gäller bara för mekaniska vågor.

Se mitt inlägg här om relativistiska dopplereffekten.

Okej, men hur är det tänkt att jag ska få fram den där formeln? Den finns inte i formelsamlingen, och den har aldrig nämnts i boken, så hur ska jag tänka för att få fram den? 

Eller jag kanske skall tillägga att man fortfarande kan få rätt svar om man använder vanliga Dopplerformeln eftersom

$\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}} = \frac{\sqrt{1-v/c} \sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1+v/c} \sqrt{1+v/c}} = \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+v/c} \approx \frac{1}{1+v/c}$

om $v^2/c^2$ är litet, dvs om relativa hastigheten är mycket mindre än ljusets hastighet. Har du tur så stämmer just detta och då får du rätt svar. Det tycker jag personligen är ett mindre bra antagande eftersom relativa hastigheter i rymden kan vara väldigt stora.

Epersson88 skrev:

Okej, men hur är det tänkt att jag ska få fram den där formeln? Den finns inte i formelsamlingen, och den har aldrig nämnts i boken, så hur ska jag tänka för att få fram den? 

 Okej, det var så länge sedan jag själv tog kursen men jag vill minnas att jag hade den. Om den inte finns med alls så får du väl göra som du gör och förmodligen så kommer du inte få någon uppgift när den inte stämmer. Men nu vet du i vilket fall att den kan ge fel svar i vissa situationer :)

Okej. Jag måste säga att det här känns extremt invecklat. Förstår inte hur en sådan här uppgift endast kan ge E-poäng när man ska lista ut att saker som inte nämnts under hela kursen ska användas... 

Jag tycker du gör det smart dock, ställer upp formler du kan tänkas behövas och skriver ner alla variabler i ord som ingår så du får en bra överblick. Sedan att du drar slutsatser som att våglängden måste bli längre om källan rör sig bort från observatören och att det resulterar i ett minustecken i hastigheten visar på att du klarar av att argumentera lite fysikaliskt utan att blint titta på formelbladet. Det är bara fortsätta jobba med att lösa många olika uppgifter så känns det lätt till slut.

Ja, jag tror jag lämnar in uppgiften så som jag gjort den, men kanske skriver en rad om att jag är medveten om att formeln jag använder endast stämmer under förutsättning att $v^2/c^2$ är mycket litet, vilket man inte alltid kan förutsätta. Tror jag klarar godkänt även om jag inte skulle få poäng för just den här uppgiften, och jag vill inte ge mig ut på för djupt vatten och använda en formel jag inte känner att jag behärskar/förstår, för då kan jag inte förklara och argumentera för min sak om det skulle behövas... :) 

Nu hittade jag den där formeln i min bok ändå! Men har ändå aldrig tidigare använt den.

Skulle du kunna visa hur man går tillväga för att lösa ut v ur den? Tycker det blir så himla krångligt med roten ur...

Om jag har:

$f\text{'} =\hspace{0.17em}f\frac{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}{1+{\displaystyle \frac{v}{c}}}$ Hur tar jag mig vidare därifrån?