en sekant (Matematik/Matte 5)

A) Varför tror du att påståendet är korrekt?

B) En rät linje mellan två punkter (x1, y1) och (x2, y2) har lutningen (y2 - y1)/(x2 - x1). Denna lutning ska vara lika med 20. Eftersom alla punkter ska ligga på kurvan så har du villkoret att y1 = x1^2 och att y2 = x2^2. Låt nu punkten (x1, y1) vara den givna punkten (2, 4). Kan du nu kombinera detta på något sätt för att ta reda på x2 och y2?

Yngve skrev :
A) Varför tror du att påståendet är korrekt?
B) En tät linje mellan två punkter (x1, y1 ( och (x2, y2) har lutningen (y2 - y1)/(x2 - x1). Denna lutni g ska vara lika med 20. Eftersom alla punkter ska ligga på kurvan så har du villkoret att y1 = x1^2 och att y2 = x2^2. Låt nu punkten (x1, y1) vara den givna punkten (2, 4). Kan du nu kombinera detta på något sätt för att ta reda på x2 och y2?

För att punkterna är positiva

y1= x1^2

4= 2^2

rätt så?

Det behövs två punkter för att rita en sekant, inte bara punkten (2,4). Hur är det t ex med den sekant som går genom punkten (-3, 9) också, vilken lutning har den?

smaragdalena skrev :
Det behövs två punkter för att rita en sekant, inte bara punkten (2,4). Hur är det t ex med den sekant som går genom punkten (-3, 9) också, vilken lutning har den?

Den lutar /

och börjar inte vid origo förstås för den har x värde -3

Nej. En linje genom punkterna (-3,9) och (2,4) kommer att luta så här ungefär: \.

Hur lutar den - nerförsbacke eller uppförsbacke (från vänster till höger)?

uppförsbacke? tror jag

Har du ritat upp det?

Det där är inte kurvan $y = x^2$ .

B har jag lyckats klura ut:

y=X^2 och y'= 2x

y'= 2x

y'= 20

alltså 20=2x

x= 10

det är väll korrekt?

och på a är svaret stt påståendet är fel, för den är en kurva, alltså träffar den negativa värden - hur kan jag utöka svaret eller formulera på ett mer matematiskt sätt?

Om x = 10 så är $y = x^2 = 10^2 = 100$ . Då blir linjens lutning $\frac{100 - 4}{10 - 2} = \frac{96}{8} = 12$ , så det är fel.

Det är när du har en tangent (en linje som har samma riktning som kurvan i en viss punkt, d v s den vidrör bara kurvan i EN punkt) som du kan använda derivatan för att komma fram till linjens lutning.

Har du ritat upp funktionen $y = x^2$ så att du vet vad det är du sysslar med? Det verkar inte så.

Nej det har jag inte, för läraren sa att man kunde lösa den utan att rita,

Taggasommaren skrev :
B har jag lyckats klura ut:
y=X^2 och y'= 2x
y'= 2x
y'= 20
alltså 20=2x
x= 10
det är väll korrekt?
och på a är svaret stt påståendet är fel, för den är en kurva, alltså träffar den negativa värden - hur kan jag utöka svaret eller formulera på ett mer matematiskt sätt?

B) Nej, du blandar ihop sekant och tangent. Sekantens lutning är inte lika med derivatans värde i någon av skärningspunkterna.

Om punkterna är $(x_{2}, y_{2})$ och $(x_{2}, y_{2})$ så är sekantens lutning $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ . Detta är en differenskvot och är det välkända sättet att beräkna lutningen för en rät linje om man känner till två punkter på linjen.

Nu till uppgiften:

Sekanten skär kurvan $y = x^{2}$ i två punkter. Den ena punkten är given: (2, 4). Den andra punkten kan vi kalla (x, y).

Eftersom sambandet $y = x^{2}$ gäller för alla punkter på kurvan så gäller det även för just denna punkt (x, y). Vi kan därför skriva den andra punkten som $(x, x^{2})$ .

Sekantens lutning kan därför enligt ovan skrivas som $k = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .

Eftersom vi vet att sekanten ska ha lutningen 20 så blir sambandet här alltså $20 = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .

Detta är en andragradsekvation som du kan lösa för att få ut de x-värden som uppfyller villkoret (det finns alltså två lösningar).

A) Grafisk metod: Rita en $x^{2}$ -kurva, markera punkten (2, 4) och välj ut två andra punkter på kurvan så att den ena ger en sekant med positiv lutning och den andra ger en sekant med negativ lutning.

Algebraisk metod: Utgå från differenskvoten och visa att den kan antingen bli negativ eller positiv, beroende på hur du väljer ditt x.

Yngve skrev :
Taggasommaren skrev :
B har jag lyckats klura ut:
y=X^2 och y'= 2x
y'= 2x
y'= 20
alltså 20=2x
x= 10
det är väll korrekt?
och på a är svaret stt påståendet är fel, för den är en kurva, alltså träffar den negativa värden - hur kan jag utöka svaret eller formulera på ett mer matematiskt sätt?
B) Nej, du blandar ihop sekant och tangent. Sekantens lutning är inte lika med derivatans värde i någon av skärningspunkterna.
Om punkterna är $(x_{2}, y_{2})$ och $(x_{2}, y_{2})$ så är sekantens lutning $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ . Detta är en differenskvot och är det välkända sättet att beräkna lutningen för en rät linje om man känner till två punkter på linjen.
Nu till uppgiften:
Sekanten skär kurvan $y = x^{2}$ i två punkter. Den ena punkten är given: (2, 4). Den andra punkten kan vi kalla (x, y).
Eftersom sambandet $y = x^{2}$ gäller för alla punkter på kurvan så gäller det även för just denna punkt (x, y). Vi kan därför skriva den andra punkten som $(x, x^{2})$ .
Sekantens lutning kan därför enligt ovan skrivas som $k = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .
Eftersom vi vet att sekanten ska ha lutningen 20 så blir sambandet här alltså $20 = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .
Detta är en andragradsekvation som du kan lösa för att få ut de x-värden som uppfyller villkoret (det finns alltså två lösningar).
Efter att jag utför denna andragrafsekvation fick jag det till x=18 och x= 2 men det sista går ej i detta sammanhang

A) Grafisk metod: Rita en $x^{2}$ -kurva, markera punkten (2, 4) och välj ut två andra punkter på kurvan så att den ena ger en sekant med positiv lutning och den andra ger en sekant med negativ lutning.
Algebraisk metod: Utgå från differenskvoten och visa att den kan antingen bli negativ eller positiv, beroende på hur du väljer ditt x.

Ja, x = 18 är rätt svar på B)

Du har väl kontrollerat svaret? Om inte, så gör det. Det är en bra vana.

Sätt då in punkten $(18, 18^{2})$ tillsammans med punkten (2, 4) i differenskvoten och verifiera att värdet blir 20.

Taggasommaren skrev :
Nej det har jag inte, för läraren sa att man kunde lösa den utan att rita,

Vilken oerhört opedagogisk lärare! Förmodligen menade din lärare att man inte skulle lösa uppgiften grafiskt, inte att man inte borde rita upp den.

Lär dig i fortsättningen att alltid rita upp allting som går att rita upp.

Yngve skrev :
Ja, x = 18 är rätt svar på B)
Du har väl kontrollerat svaret? Om inte, så gör det. Det är en bra vana.
Sätt då in punkten $(18, 18^{2})$ tillsammans med punkten (2, 4) i differenskvoten och verifiera att värdet blir 20.

VSR en differenskvoten?

VSR en differenskvoten?

Vad betyder detta?

smaragdalena skrev :
VSR en differenskvoten?
Vad betyder detta?

SKriver via mobilen så den ändrar orden av sig själv

Taggasommaren skrev :
smaragdalena skrev :
VSR en differenskvoten?
Vad betyder detta?
SKriver via mobilen så den ändrar orden av sig själv

OK jag förstår. Men var det ngt du undrade över?

Yngve skrev :
Taggasommaren skrev :
smaragdalena skrev :
VSR en differenskvoten?
Vad betyder detta?
SKriver via mobilen så den ändrar orden av sig själv
OK jag förstår. Men var det ngt du undrade över?

Du sa att jag skulle sätta in värdena i differenskvoten,, var är den?

Taggasommaren skrev :
Du sa att jag skulle sätta in värdena i differenskvoten,, var är den?

Jag beskrev det där med differenskvot för 9 inlägg sedan. Scrolla upp.

18^2 - 4 / 18-2

320/ 16= 20

k=20

ovan har jag väll löst b?

Hur ska jag tänka på a ??

Taggasommaren skrev :
18^2 - 4 / 18-2
320/ 16= 20
k=20
ovan har jag väll löst b?

Ja nu har du även kollat att det verkar stänma. Bra.

Taggasommaren skrev :
Hur ska jag tänka på a ??

Det beskrev jag i samma inlägg som det om differenskvoten. Vilken metod vill du använda, grafisk eller algebraisk?

Yngve skrev :
Taggasommaren skrev :
Hur ska jag tänka på a ??
Det beskrev jag i samma inlägg som det om differenskvoten. Vilken metod vill du använda, grafisk eller algebraisk?

Algebraiskt vill jag beräkna den,,

jag ska enligt sig då utgå från differenskvoten och visa att den kan antingen bli negativ eller positiv, beroende på hur jag väljer x

kan jag då välja vilket värde jag än vill på x?

Taggasommaren skrev :
Yngve skrev :
Taggasommaren skrev :
Hur ska jag tänka på a ??
Det beskrev jag i samma inlägg som det om differenskvoten. Vilken metod vill du använda, grafisk eller algebraisk?
Algebraiskt vill jag beräkna den,,

jag ska enligt sig då utgå från differenskvoten och visa att den kan antingen bli negativ eller positiv, beroende på hur jag väljer x
kan jag då välja vilket värde jag än vill på x?

Bra val. Jag tycker att du ändå ska rita upp det hela, det är bra träning.

Algebraiskt:

Sekanten som går genom punkterna (2, 4) och $(x, x^{2})$ har en lutning k som kan skrivas $k = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .

Vår uppgift är nu att visa att k kan vara både negativ och positiv.

Det finns flera sätt att göra det.

1. Resonera & pröva:

Om täljaren och nämnaren har samma tecken så är differenskvoten positiv.

Om täljaren och nämnaren har olika tecken så är differenskvoten negativ.

Vi visar först att differenskvoten kan vara positiv:

Med x = 1 och $x^{2} = 1^{2} = 1$ så är täljaren lika med 1 - 4 = -3 och nämnaren lika med 1 - 2 = -1.

Täljaren och nämnaren har samma tecken, alltså är differenskvoten positiv, nämligen -3/-1 = 3.

Vi visar sedan att differenskvoten kan vara negativ:

Med x = -3 och $x^{2} = (- 3)^{2} = 9$ så är täljaren lilka med 9 - 4 = 5 och nämnaren lika med -3 - 2 = -5.

Täljaren och nämnaren har olika tecken, alltså är differenskvoten negativ, nämligen 5/-5 = -1.

Alltså kan sekantens lutning vara både positiv och negativ.

2. Visa att ekvationen med differenskvoten har lösningar både för positiva och negativa värden på k.

Ekvationen lyder $k = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Med hjälp av konjugatregeln kan täljaren skrivas som (x - 2)(x + 2).

Om k är skilt från 2 så kan man förkorta bort faktorn (x - 2) och kvar blir då bara att k = x + 2.

Här är det fritt att välja x (förutom det förbjudna x = 2).

Vi ser alltså att k blir negativ om x < -2 och att k blir positiv om x > -2.

Alltså kan sekanten ha både positiv och negativ lutning.