En riktig klurig limit

Vad har du själv tänkt?

Smutsmunnen skrev:

Vad har du själv tänkt?

Absolut. Har kommit till $2\frac{2n-1}{4(n-1)}\times \frac{2n-2}{4(n-2)}\times \frac{2n-3}{4(n-3)}.... \frac{n+1}{4}$

Delar av uttrycket går dock mot oändligheten samtidigt som de första delarna går mot 0 

Ja alltså om jag inte missar något uppenbart så är den här ganska klurig.

Först och främst uttrycket som vi tar gränsvärdet av har en probabilistisk tolkning, det är sannolikheten att om vi singlar slant 2n gånger så får vi lika många kronor som klave. Alltså är uttrycket en sannolikhet och därför mellan 0 och 1. Så divergens mot oändligheten kan uteslutas. Och jag skulle säga att den probabilistiska tolkningen gör att vi inser att gräsnvärdet typ garanterat går mot 0. Singlar man slant typ 10^100 gånger är sannolikheten att få precis lika många kronor som klavar försvinnande liten.

Jag är också helt övertygad om att man kan visa att gränsvärdet går mot 0 med probabilistiska metoder typ Paley-Zygmunds olikhet. Men det är nog inte det som är tanken här.

Så vi kör algebra:

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)\times 4^{-n}=\frac{\left(2n\right)!}{n!n!}\times 4^{-n}= \\ \frac{1\times 3\times 5....\times (2n-1)}{1\times 2\times 3...\times n}\frac{2\times 4\times 6....\times 2n}{1\times 2\times 3...\times n}\times 4^{-n}= \\ \frac{1\times 3\times 5....\times (2n-1)}{1\times 2\times 3...\times n}\times 2^{-n}= \\ \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times ....\times \frac{2n-1}{2n} \end{gathered}$$

och det där uttrycket kan man visa går mot 0 förslagsvis genom jämförelse med 

$\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}\times ...\times \frac{2n-1}{2n}=\frac{1}{2n}$

som ju går mot 0.

Här är lite texter

https://math.stackexchange.com/questions/434144/combinatorially-showing-lim-n-to-infty-frac2n-choose-n4n-0