En rät linje skär enhetscirkeln

Uppgiften på provet löd:

En rät linje med vinkeln A mot x-axeln som går genom origo skär enhetscirkeln i punkten $(x, y)$ . Bestäm konstanterna $a$ , $b$ , $c$ , uttryckt i koordinaterna $(x, y)$ så att linjen kan skrivas på formen $a x + b y = c$ .

Jag började med att skriva om linjen på k-form: $y = \frac{c}{b} - \frac{a}{b} x$ . Eftersom linjen går genom origo måste $\frac{c}{b} = 0$ , vilket medför att $c = 0$ . Då kan linjen skrivas som $y = - \frac{a}{b} x$ . Dessutom vet man att $k = - \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}$ . Man vet också att $\sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$ .

Jag fattar att man måste använda den här informationen på något sätt, men jag lyckas inte lista ut hur. Hjälp skulle uppskattas!

A är okänd och förblir okänd. Du är ju egentligen klar: y = -ax/b, och -a/b = sinA/cosA. Sätt ihop det och gör om det till ax+by = 0 igen.

Ja, jag inser att vinkel A kommer förbli okänd. Men ur sambanden jag har kommit fram till kan jag endast bestämma -a/b, inte a och b separat, vilket är det som uppgiften efterfrågar.

Du har kommit fram till att $y=\frac{\sin(A)}{\cos(A)}x$

Skriv detta samband på formen $ax+by=0$ så ser du direkt vad $a$ och $b$ måste vara.

Jaha, såklart!

$y - \frac{\sin A}{\cos A} x = 0 a = - \frac{\sin A}{\cos A} b = 1$

Eller a = -sinA och b = cosA, till exempel.

b kan väl inte vara cosA? För vi vet ju att y-termen står ensam. Om b=cosA skulle by=ycosA.

Ta den ekvation du kommit fram till och multiplicera med cos(A). Hur ser den ut då?

$y \cos A - x \sin A = 0$ .

Ah, okej. Jag fattar hur det går ihop. Den linjen uppfyller också kraven som uppgiften lade ut.

Svara

Visa senaste svar