En punkt i grafen

Vi förutsätter att uppgiften gäller en andragradsfunktion.

Tips: Grafen (parabeln) är symmetrisk med avseende på symmetrilinjen.

Du känner till y-värdet vid x = 0.

Ger det dig en knuff framåt?

Okej, så du tänker att svaret är så enkelt som (0,-4)?

fgh_ skrev:

Okej, så du tänker att svaret är så enkelt som (0,-4)?

Nej, den punkten har du redan fått given i uppgiften. Du ska hitta ytterligare en punkt.

Använd då samma metod som du gjorde för att hitta det okända nollstället, dvs använd att grafen är symmetrisk med avseende på symmetrilinjen.

Problemet är att jag inte använde någon metod för det. Jag bara tog mellanskillnaden på det givna nollstället och symmetrilinjen och drog av det från symmetrillinjen.

Du kanske inte ser det som en metod, men det var det 👍

Du utgick alltså från den kända punkten (5, 0) och insåg att eftersom den ligger 2 steg till höger om symmetrilinjen så måste det på grund av symmetrin även finnas en motsvarande (på samma y-värde) punkt 2 steg till vänster om symmetrilinjen.

Nu är det så att denna symmetri gäller överallt på parabeln, dvs det är inte bara nollställena som ligger symmetriskt kring symmetrilinjen.

Pröva gärna att grovt skissa parabeln och visa oss. Detta kommer att öka din förståelse och göra det lättare att lösa liknande uppgifter i framtiden.

====

Jag visar gärna sedan ett sätt att lösa uppgiften rent algebraiskt.

Ah, nu är jag nog med lite mer på sambanden.

Hittat sidan i boken som beskriver formeln y = ax²+bx+c och vad a, b, c har för konsekvenser på grafen. Hade inte det med mig riktigt. Ska läsa den lite mer och sedan försöka lösa några andra liknande uppgifter.

Tack för att du visade mig i rätt riktning.

Bra, lyckades du lösa uppgiften på det "enkla" sättet då?

Yngve skrev:

 

====

Jag visar gärna sedan ett sätt att lösa uppgiften rent algebraiskt.

Förhoppningsvis listar jag ut det när jag förstår sambanden. :-)

Börja med att fylla i tabellen utan avancerade beräkningar.

Fråga sedan gärna om den algebraiska lösningen, som är mer generell i och med att den kan ge oss koordinaterna för vilken punkt som helst på grafen, inte bara "symmetripunkter".

Tar gärna del av lösningen Yngve.

Grafen till en allmän andrgradsfunktion ges av $y=ax^2+bx+c$, där $a, b, c$ är konstanter (och $a\neq0$).

 Om du känner till koordinaterna för tre olika punkter $(x_1,y_1) (x_2,y_2) (x_3,y_3)$ på parabeln så kan du bestämma konstanterna $a, b, c$ genom att lösa följande ekvationssystem:

• $y_1=a{x_1}^2+bx_1+c$
• $y_2=a{x_2}^2+bx_2+c$
• $y_3=a{x_3}^2+bx_3+c$

Yngve skrev:

Grafen till en allmän andrgradsfunktion ges av $y=ax^2+bx+c$, där $a, b, c$ är konstanter (och $a\neq0$).

 Om du känner till koordinaterna för tre olika punkter $(x_1,y_1) (x_2,y_2) (x_3,y_3)$ på parabeln så kan du bestämma konstanterna $a, b, c$ genom att lösa följande ekvationssystem:

• $y_1=a{x_1}^2+bx_1+c$
• $y_2=a{x_2}^2+bx_2+c$
• $y_3=a{x_3}^2+bx_3+c$

Okej!

Inte för att jag förstår hur man räknar ut det ekvationssystemet men är de det som ska användas i följande uppgift:

Figuren visar grafen till y=ax²+bx+c, bestäm a, b och c.

Du kan använda den metoden i uppgiften, men eftersom du kan läsa av nollställena x = -1 och x = 3 så finns det en enklare väg:

Du kan skriva andragradsuttrycket på faktoriserad form enligt y = k(x-x₁)(x-x₂), där k är en konstantbskild från 0 och x₁ samt x₂ är nollställena.

Du får alltså y = k(x+1)(x-3).

För att bestämma värdet på k kan du nu välja vilken annan punkt som helst på kurvan, t.ex. (0, 6), vilket ger dig ekvationen 6 = k(0+1)(0-3), vilket ger dig k = -2.

Du har alltså att y = -2(x+1)(x-3)

Om du multiplicerar ihop parenteserna får du y = -2x²+4x+6.

=====

Om du istället vill använda metoden med ekvationssystem så kan du t.ex. välja punkterna (0, 6), (1, 8) och (3, 0) vilket ger dig

• 6 = a*0²+b*0+c, dvs 6 = c
• 8 = a*1²+b*1+c, dvs 8 = a+b+c
• 0 = a*3²+b*3+c, dvs 0 = 9a+3b+c

Kan du lösa det ekvationssystemet?

Yngve skrev:

Du kan skriva andragradsuttrycket på faktoriserad form enligt y = k(x-x₁)(x-x₂), där k är en konstantbskild från 0 och x₁ samt x₂ är nollställena.

=====

Om du istället vill använda metoden med ekvationssystem så kan du t.ex. välja punkterna (0, 6), (1, 8) och (3, 0) vilket ger dig

• 6 = a*0²+b*0+c, dvs 6 = c
• 8 = a*1²+b*1+c, dvs 8 = a+b+c
• 0 = a*3²+b*3+c, dvs 0 = 9a+3b+3b

Kan du lösa det ekvationssystemet?

Okej, det var en helt ny formel för mig. Aldrig sett.

Och nej, jag kan fortfarande inte förstå hur jag löser ekvationssystemet. Jag gör på följande sätt och vet inte hur jag sen kommer vidare.

• 6 = a*0²+b*0+c

6-6 = a*0²+b*0+c-6

0=a*0²+b*0

• 8 = a*1²+b*1+c

8-6 = a*1²+b*1+c-6

2= a*1+b*1

• 0 = a*3²+b*3+c

0-6 = a*3²+b*3+c -6

-6=a*9+b*3

^{Men detta är C-uppgifter. Jag kanske ska fokusera på A och B så jag hinner igenom allt innan tentan. :-)}

fgh_ skrev:

Okej, det var en helt ny formel för mig. Aldrig sett.

Det kallas för faktorform och är ett annat sätt att beskriva andragradsuttryck. Man behöver inte kunna den, men dennär praktisk ibland.

Och nej, jag kan fortfarande inte förstå hur jag löser ekvationssystemet. Jag gör på följande sätt och vet inte hur jag sen kommer vidare.

 

• 6 = a*0²+b*0+c

6-6 = a*0²+b*0+c-6

0=a*0²+b*0

 

• 8 = a*1²+b*1+c

8-6 = a*1²+b*1+c-6

2= a*1+b*1

 

• 0 = a*3²+b*3+c

0-6 = a*3²+b*3+c -6

-6=a*9+b*3

Första ekvationen ger dig att c = 6

Om du sätter in detta värde istället för c i de två andra ekvationerna så blir de

8 = a+b+6, vilket kan skrivas som a+b = 2

0 = 9a+3b+c, vilket kan skrivas som 9a+3b = -6

Du har alktså de två ekvationerna 

a+b = 3

9a+3b = -6

Du kan nu lösa detta ekvationssystem grafiskt alternativt algebraiskt med hjälp av substitutionsmetoden eller addititionsmetoden.

^{Men detta är C-uppgifter. Jag kanske ska fokusera på A och B så jag hinner igenom allt innan tentan. :-)}

Det låter klokt.