En partikels rörelse på insidan av en kon

Hej! Jag skulle behöva lite hjälp med uppgift b uppgiften nedan.

Jag har löst a-uppgiften och kommit fram till $v_{0} = \sqrt{g h}$ . För att lösa b har jag sedan ställt upp energiekvationen och den för rörelsemängdsmoment. Enligt följande:

$\frac{m {v_{0}}^{2}}{2} + m g z = \frac{m v^{2}}{2} \Rightarrow v^{2} = {v_{0}}^{2} + 2 g z (1) m v r = m v_{0} r_{0} \Rightarrow v = \frac{v_{0} r_{0}}{r}, m e d r = \frac{r_{0} (h - z)}{h} g ä l l e r : v = \frac{v_{0} h}{h - z} (2)$

Där $v_{0}$ är den nya ursprungshastigheten. Med insättning av (2) i (1) och lite algebra kommer jag sedan fram till följande uttryck: $z = \frac{g h - \frac{{v_{0}}^{2}}{4}}{g} \pm \sqrt{\frac{{(g h - \frac{{v_{0}}^{2}}{4})}^{2} - (g h^{2} - {h v_{0}}^{2})}{g^{2}} (3)}$

Sedan betraktar jag fallen då $\sqrt{{(g h - \frac{{v_{0}}^{2}}{4})}^{2} - (g h^{2} - {h v_{0}}^{2})} > g h - \frac{{v_{0}}^{2}}{4} o c h \sqrt{{(g h - \frac{{v_{0}}^{2}}{4})}^{2} - (g h^{2} - {h v_{0}}^{2})} < g h - \frac{{v_{0}}^{2}}{4}$

I fall 1 kommer jag fram till att $v_{0} > \sqrt{g h}$ . Sätter jag sedan in detta i (3) får jag fram att $z_{1} < \frac{9}{4} h o c h z_{2} < - \frac{3}{4} h < 0 .$ Däremot har vi ju endast att $z_{1} < \frac{9}{4} h$ vilket inte implicerar att $z_{1} > 0$ . Samtidigt som den lika gärna skulle kunna åka ut över kanten.

Samtidigt får jag i fall 2: $v_{0} < \sqrt{g h} .$ Gör jag på samma sätt, och använder detta uttryck i (3) får jag: $z_{1} > \frac{9}{4} h o c h z_{2} > - \frac{3}{4} h .$ Här blir det alltså det omvända fallet. Det är inte säkert att $z_{2} < 0 .$ Och dessutom är $z_{1} > \frac{9}{4} h$ vilket inte känns helt rimligt, eftersom utgångshastigheten är mindre än i a) och därmed borde komma lägre ner.

Jag antar därför att det är någonting i min lösning som inte riktigt stämmer, men är inte säker på vad. Skulle vara väldigt tacksam för hjälp!

Svara