En metallkula som gungar: problemlösning

Kulans hastighet är 0.32 gånger cosinus av "någonting".

Vad är max och min av cos(a) ?

le chat skrev:

Jag har hittills endast lyckats lösa b genom dela 2π med 1.4 men vad gäller a och b förstår jag inte hur jag ska tänka. På fråga a kan man ju rent grafiskt komma fram till att y är 0.32  men det värdet har den även när den står still, hur kommer det sig? 

Tack på förhand!

Om a-uppgiften: 

Kulans hastighet ges av funktionen v(t). Grafen till denna funktion visas i bilden. Det som efterfrågas är vilken som är den naximala hastigheten. Detta är samma sak som att hitta maxvärdet hos v(t).

0,32 är rätt nen det är v(t) som är 0,32 inte "y". Jag förstår inte riktigt vad du menar med att det är samma värde när kulan "står still". Det som visas är alltså inte kulans position som funktion av tiden utan kulans hastighet som funktion av tiden.

Tanken är nog att du ska hitta det maximala värdet med hjälp av en algebraisk metod.

Använd dina befintliga kunskaper om hur du hittar naxvärdet för en funktion och använd det här på v(t).

Hastigheten ges av v(t) = 0,32*cos(1,4t).

Den funktionen har sitt största värde när cos(1,4t) har sitt största värde. Cos går mellan -1 och 1 så funktionens största värde blir 0,32

Perioden är den tid det tar att utföra en komplett svängning dvs från max till max. En period är 2pi

således: Perioden t fås ur sambandet; 1,4t = 2pi => t = 2pi/1,4

Avståndet mellan vändlägena:

om hastigheten ges av v(t) hur ser funktionen för läget ut?

1. Då cos är 0 är dess maximivärde 1 och dess minimivärde är -1.
2. Kulans maximala hastighet borde väl vara maximipunkten och det tar man ju reda genom att derivera funktionsuttrycket med hjälp av kedjeregeln.
3. För att ta reda på kulans vändlägen borde man väl integrera funktionsuttrycket.

Tänker jag rätt?

f(x) = cos(x) är 1 då x = 0+2npi, vilket är max.

För att beräkna hastighetens max behöver du inte derivera och söka nollställen, du vet att max fås då cos(1,4t) = 1.

För att ta reda på kulans läge (och därmed även vändlägen) integrerar du hastigheten

le chat skrev:

1. Då cos är 0 är dess maximivärde 1 och dess minimivärde är -1.
2. Kulans maximala hastighet borde väl vara maximipunkten och det tar man ju reda genom att derivera funktionsuttrycket med hjälp av kedjeregeln.
3. För att ta reda på kulans vändlägen borde man väl integrera funktionsuttrycket.

Tänker jag rätt?

 1. Jag antar att du menar att när vinkeln (argumentet) är 0 så antar cosinusfunktionen sitt maxvärde, som är 1. I så fall stämmer det du skriver.

2. Ja du hittar alla extrempunkter genom att derivera funktionen och sätta derivatan lika med 0. Och ja, du ska då använda kedjeregeln eftersom v(t) är en sammansatt funktion.

3. Ja efterom hastighetsfunktionen är derivatan av positionsfunktionen så är positionsfunktionen en av de primitiva funktionerna till hastighetsfunktionen. Om du kallar positionsfunktionen för s(t) så ska det alltså gälla att s'(t) = v(t).

När jag ska integrera för att beräkna kulans vändlängd, hur kommer jag fram till mina integrationsfrågor?

Om jag har förstått vändlängd korrekt, så är det väl   avståndet mellan två extrempunkter. Borde man inte kunna få fram integrationsgränserna genom att ta reda på den nästa maximipunkten?

Det räcker att ta fram en primitiv funktion

Ture skrev:

Det räcker att ta fram en primitiv funktion

 Den primitiva funktionen är som bilden nedan.

Ja, det beskriver läget som funktion av t. Men du ska inte ha några integrationsgränser.

Kan du läsa av svaret på fråga c?

le chat skrev:

Ture skrev:

Det räcker att ta fram en primitiv funktion

 Den primitiva funktionen är som bilden nedan.

 Det du har skrivit här är rappakalja - eller rättare sagt, detär en helt annan integral än den du har tänkt dig. Vad blir den primitiva funktionen till $0,34 \cos (1,4t)$ om du integrerar med avseende på x? Du menar att skriva dt på slutet, inte dx.

le chat skrev:

Ture skrev:

Det räcker att ta fram en primitiv funktion

 Den primitiva funktionen är som bilden nedan.

Var kom 0,34 ifrån? Konstanten framför var ju 0,32.

----------

Du ska inte beräkna integralen, då får du fram den totala sträckan som kulan har tillryggalagt.

Du ska ta fram en positionsfunktion s(t), dvs en primitiv funktionen till v(t), dvs en funktion s(t) som uppfyller s'(t) = v(t).

Eftersom s(t) beskriver kulans position vid tidpunkten t så är det lätt att med hjälp av den identifiera vändlägena och därmed besvara fråga c. 

Om jag nu har förstått allting rätt.

-  Vändlägen är alltså extrempunkter och jag ska med hjälp av den primitiva funktionen ta reda på hur långt det är mellan extrempunkterna i en period?

Min primitiva funktion för v(t) blev $F\left(x\right)=\frac{ 0,32\sin (1.4t)}{1,4}$.

le chat skrev:

Min primitiva funktion för v(t) blev $F\left(x\right)=\frac{ 0,32\sin (1.4t)}{1,4}$.

EDIT - ska vara F(t) och inte F(x).

 ----------

Ja, fast variabeln ska vara t, inte x.

Egentligen är de primitiva funktionerna (det finns oändligt många) $F(t)=\frac{0,32\cdot sin(1,4t)}{1,4}+C$, men det kommer att visa sig att du inte behöver ha med konstanten C.

$F(t)$ beskriver alltså kulans höjdläge (i meter) vid tidpunkten $t$. På funktionsuttrycket ser du att kulan svänger upp och ner kring ett jämviktsläge $C$.

Det som efterfrågas är avståndet mellan kulans vändpunkter, dvs avståndet mellan kulans högsta position och kulans lägsta position. Det är här man inser att konstanten $C$ inte behövs eftersom den inte påverkar avståndet mellan vändpunkterna.

Ser du det hela framför dig, dvs hur kulan rör sig upp och ner?

Kommer du vidare med att beräkna avståndet?

Yngve skrev:

le chat skrev:

Min primitiva funktion för v(t) blev $F\left(x\right)=\frac{ 0,32\sin (1.4t)}{1,4}$.

Ja. Egentligen är de primitiva funktionerna (det finns oändligt många) $F(x)=\frac{0,32\cdot sin(1,4t)}{1,4}+C$, men det kommer att visa dig att du inte behöver ha med konstanten C.

$F(x)$ beskriver alltså kulans höjdläge i meter vid tidpunkten $t$. På funktionsuttrycket ser du att kulan svänger upp och ner kring ett jämviktsläge $C$.

Det som efterfrågas är avståndet mellan kulans vändpunkter, dvs avståndet mellan kulans högsta position och kulans lägsta position. Det är här man inser att konstanten $C$ inte behövs efyersom den inte påverkar avståndet mellan vändpunkterna.

Ser du det hela framför dig, dvs hur kulan rör sig upp och ner?

Kommer du vidare med att beräkna avståndet?

Om F(x) beskriver kulans höjdläge vid en tidspunkt då borde väl nollpunkterna användas som integrationsgränser för att beräkna arean under kurvan dvs kulans höjdläge? 

le chat skrev:

Om F(x) beskriver kulans höjdläge vid en tidspunkt då borde väl nollpunkterna användas som integrationsgränser för att beräkna arean under kurvan dvs kulans höjdläge? 

Förlåt jag skrev fel tidigare, det ska såklart vara $F(t)$ och inte $F(x)$.

------------

Du ska inte heller här beräkna någon integral. Arean under kurvan beskriver inte en position.

Du ska beräkna avståndet (i meter) mellan kulans vändpunkter, dvs skillnaden i höjd mellan kulans högsta position och kulans lägsta position, där $F(t)$ beskriver kulans höjdposition (i meter) vid tidpunkten t.

• Vilken är kulans högsta position?
• Vilken är kulans lägsta position?
• Vad är skillnaden mellan dessa?

Ser du framför dig hur $F(t)$ beskriver kulans position? Om inte så rita grafen till $F(t)$.

Yngve skrev:

Du ska inte heller här beräkna någon integral. Arean under kurvan beskriver inte en position.

Du ska beräkna avståndet (i meter) mellan kulans vändpunkter, dvs skillnaden i höjd mellan kulans högsta position och kulans lägsta position, där $F(t)$ beskriver kulans höjdposition (i meter) vid tidpunkten t.

• Vilken är kulans högsta position?
• Vilken är kulans lägsta position?
• Vad är skillnaden mellan dessa?

Ser du framför dig hur $F(t)$ beskriver kulans position? Om inte så rita grafen till $F(t)$.

 Tänker jag rätt?

le chat skrev:

 Tänker jag rätt?

Du tänker rätt men räknar lite fel.

Högsta positionen är $\frac{0,32}{1,4}+C$, lägsta positionen är $\frac{-0,32}{1,4}+C$. Skillnaden är $\frac{0,32}{1,4}-\frac{-0,32}{1,4}=\frac{0,64}{1,4}\approx 0,457$.