En mängd A innehåller n stycken element
En mängd A innehåller n stycken element, n>1. Antalet delmängder med
två element är lika många som antalet delmängder med tre element. Hur
många delmängder har A?
Jag har väldigt svårt för att förstå frågan. Vet inte riktigt hur jag ska symbolisera detta och därefter lösa den.
Svårt att skriva notationen ”a över b” här.
Men antal delmängder med k element är n över k.
Så vi får (n över 2) = (n över 3) som ger
[n(n–1)]/2! = [n(n–1)(n–2)]/3!
Mogens skrev:Svårt att skriva notationen ”a över b” här.
Men antal delmängder med k element är n över k.
Så vi får (n över 2) = (n över 3) som ger
[n(n–1)]/2! = [n(n–1)(n–2)]/3!
Aldrig hört uttrycket "över" innan. Vad innebär det?
Det som söks här är det totala antalet delmgdr, medan Mogens anger antalet delmgder med k st element i en mängd med n element. Det är lite för länge sedan jag var i kombinatoriklådan för att jag ska känna mig säker, men när man vill beteckna mängden av delmgdr till en mängd M förekommer symbolen 2M vilket inte borde vara en tillfällighet.
Tomten,
Du har inte fel, men jag har rätt. Antal delmängder till en mängd med n element kan man räkna så här:
När man bildar en delmängd ska man för varje element bestämma ifall det ska vara med eller ej. För varje element är detta 2 val. Alltså har en mängd med n element 2n delmängder (mängden själv och tomma mängden inräknade).
När du bildar en delmängd med k element, så har du n val för första elementet, n–1 val för andra elementet, n–2 val för tredje elementet, …, n-k+1 val för element k.
Dvs n(n–1)(n-2)…(n-k+1) valmöjligheter.
MEN det spelar ingen roll om du valt Pelle först och Lisa sedan eller tvärtom, det är samma mängd likafullt. De k elementen kan väljas på k! sätt, varje delmängd är räknad k! gånger. Så antalet mängder med k element är [n(n–1)…(n–k+1)] / k! , vilket är just (n över k).
Som spinnoff får man följande vackra samband.
Antalet delmängder till en mängd med n element är [(antalet med 0 element)+ (antalet med 1 element)+(antalet med 2 element)+…+(antalet med n element)].
Men nyss visade vi att detta var 2n. Alltså
(n över 0)+(n över 1)+(n över 2)+…+(n över n) = 2n
Man ser detta t ex i Pascals triangel med binomialkoefficienterna. Summan av koefficienterna längs raderna är:
1 = 20
1+1 = 21
1+2+1 = 22
1+3 +3+1 = 23 osv
swaggerdabber44,
Du hamnade i bakvattnet här. Jag vill bara ge ett exempel (kanske har du redan hittat det).
(10 över 3) definieras som 10! delat med 3!(10–3)!
av det inses att (10 över 3) är likamed (10 över 7).
I ditt exempel skulle antal delmängder med två element vara samma som antal delmängder med tre element.
Om du har fem element så är varje val av en delmängd med två element samma sak som att du ”väljer bort” tre element. Till varje delmängd med 2 element svarar enentydigt en delmängd med 3 element. Därför kan man dra slutsatsen att n = 5 ger EN lösning till problemet. Sedan får man motivera att n är enda möjligheten.
Mogens skrev:swaggerdabber44,
Du hamnade i bakvattnet här. Jag vill bara ge ett exempel (kanske har du redan hittat det).
(10 över 3) definieras som 10! delat med 3!(10–3)!
av det inses att (10 över 3) är likamed (10 över 7).
I ditt exempel skulle antal delmängder med två element vara samma som antal delmängder med tre element.
Om du har fem element så är varje val av en delmängd med två element samma sak som att du ”väljer bort” tre element. Till varje delmängd med 2 element svarar enentydigt en delmängd med 3 element. Därför kan man dra slutsatsen att n = 5 ger EN lösning till problemet. Sedan får man motivera att n är enda möjligheten.
Okej och hur utförs detta i praktiken? D.v.s hur kommer jag fram till detta utan ord?
Så här skulle min lösning se ut:
A har n element.
Antal delmängder med k element är (n över k). Det ger (n över 2) = (n över 3), dvs
n! / [2!(n–2)!] = n! / [3!(n–3)!] (*)
n! 3! (n–3)! / [n! 2! (n–2)!] = 1
3 / (n–2) = 1
n = 5.
En mängd med n element har 2n delmängder.
Svar: Mängden har 25 (= 32) delmängder.
OBS! Riktigt så här skulle jag inte ha gjort. Ekvationen (*) följer definitionen av (n över k).
Men i praktiken (om k är litet) går jag ofta en genväg:
Säg att vi har (11 över 4).
Under bråkstrecket skriver jag 1*2*3*4.
Över bråkstrecket räknar jag ned 11*10*9*8, lika många faktorer över som under bråkstrecket.
(11*10*9*8) / (1*2*3*4) kan i ett vips förkortas till 11*10*3
Därför skulle jag ha skrivit (*) ovan så här istället:
(n över 2) = (n över 3)
n(n–1) / (1*2) = n(n–1)(n–2) / (1*2*3)
Mogens skrev:Så här skulle min lösning se ut:
A har n element.
Antal delmängder med k element är (n över k). Det ger (n över 2) = (n över 3), dvs
n! / [2!(n–2)!] = n! / [3!(n–3)!] (*)
n! 3! (n–3)! / [n! 2! (n–2)!] = 1
3 / (n–2) = 1
n = 5.
En mängd med n element har 2n delmängder.
Svar: Mängden har 25 (= 32) delmängder.
OBS! Riktigt så här skulle jag inte ha gjort. Ekvationen (*) följer definitionen av (n över k).
Men i praktiken (om k är litet) går jag ofta en genväg:
Säg att vi har (11 över 4).
Under bråkstrecket skriver jag 1*2*3*4.
Över bråkstrecket räknar jag ned 11*10*9*8, lika många faktorer över som under bråkstrecket.
(11*10*9*8) / (1*2*3*4) kan i ett vips förkortas till 11*10*3
Därför skulle jag ha skrivit (*) ovan så här istället:
(n över 2) = (n över 3)
n(n–1) / (1*2) = n(n–1)(n–2) / (1*2*3)
Tack!
