En lutning i en punkt, hur är det möjligt?
Hej allesammans!
Jag försöker bena ut mina huvudbryn kring calculus!
Något som jag har lite svårt att greppa är rimligheten i att det kan existera en lutning i en punkt. På samma sätt har jag svårt att greppa hur det kan existera en momentan förändringshastighet.
Jag köper på något sätt beräkningarna kring det, att man använder sig av gränsvärden som man närmar sig mer och mer men aldrig kommer att nå helt och hållet. Men då finns det också en diskrepans, för då når man egentligen aldrig lutningen i en punkt eller den momentana förändringshastigheten? Man kommer bara oändligt nära?
Hur känner ni personligen inför begreppen?
(Har en viss känsla av att jag kanske bara inte har greppat gränsvärden helt och hållet...)
Hej.
Jag förstår att det kan kännas lite avigt.
Det beror ofta på hut man uttrycker sig, eller hur man tolkar det som uttrycks.
Om man t.ex. säger "kurvan har lutningen 3 i punkten (1, 2)" så menar man inte att punkten (1, 2) har lutningen 3 (eftersom en punkt saknar utsträckning och därmed inte heller kan ha någon riktning).
Det man menar är istället att kurvan har medellutningen 3 i en infinitesimal omgivning kring punkten (1, 2).
I praktiken menar man att den linje som tangerar kurvan I punkten (1, 2) har riktningskoefficienten 3.
Blev det lite mer greppbart då?
====
Och ställ massor med frågor kring gränsvärden så märker vi nog rätt snart om du har greppat det eller inte.
Du kanske vill läsa om Zenons paradoxer.
Kanske är det så att man brukar uttrycka sig slarvigt om gränsvärden.
Man säger ibland "gränsvärde i en punkt" men det krävs då att man har en mycket liten omgivning till punkten. Den vanliga definitionen av derivatan kräver att h går mot noll, men absolut inte att h går till noll.
Precis som du själv skriver: Man kommer oändligt nära.
Ändå brukar man prata om gränsvärdet för punkten, fast man måste räkna på punkten och en omgivning.
Yngve skrev:Hej.
Jag förstår att det kan kännas lite avigt.
Det beror ofta på hut man uttrycker sig, eller hur man tolkar det som uttrycks.
Om man t.ex. säger "kurvan har lutningen 3 i punkten (1, 2)" så menar man inte att punkten (1, 2) har lutningen 3 (eftersom en punkt saknar utsträckning och därmed inte heller kan ha någon riktning).
Det man menar är istället att kurvan har medellutningen 3 i en infinitesimal omgivning kring punkten (1, 2).
I praktiken menar man att den linje som tangerar kurvan I punkten (1, 2) har riktningskoefficienten 3.
Blev det lite mer greppbart då?
====
Och ställ massor med frågor kring gränsvärden så märker vi nog rätt snart om du har greppat det eller inte.
Tack för svaret! Jag skriver helt under på att en punkt saknar utsträckning och således även lutning. Då verkar det vara som så att man uttrycker sig lite "slarvigt" - man får aldrig fram lutningen i punkten, utan bara lutningen i punktens närområde som kan vara hur litet som helst (men aldrig 0).
Jag gissar att samma slags logik gäller för momentan förändringshastighet? Dvs den är inte bokstavligen momentan, men kan komma så nära momentan som man önskar.
Är den lite mer "rigorösa" beskrivningen att istället försöka tala om tangentens lutning kanske?
För varje punkt x i en kurva; finns det då en och endast en rät linje som går igenom punkt x men inte igenom punkterna som ligger "precis till höger och vänster" om punkten? I så fall är ju detta mycket tjusigt! :D
Edit: man bör nog lägga till ett krav om att den räta linjen ändå ska ligga så nära de två intilliggande punkterna som möjligt... Annars kan man dra linjerna lite hipp som happ insåg jag!
Laguna skrev:Du kanske vill läsa om Zenons paradoxer.
Läste om dessa! Såg att det sägs att analysen löser hans paradoxer, och jag kan tyyp kanske förstå hur det löser Akilles och sköldpaddan och dikotomi-paradoxen. Förstår dock inte hur det löser pil-paradoxen, som känns som den som ligger närmast min frågeställning...?
När vi begränsar hur långt pilen får flyga, så begränsar vi också hur länge den får flyga.
Vi når aldrig den tidpunkt då pilen träffar.
ytrewq skrev:Yngve skrev:Hej.
Jag förstår att det kan kännas lite avigt.
Det beror ofta på hut man uttrycker sig, eller hur man tolkar det som uttrycks.
Om man t.ex. säger "kurvan har lutningen 3 i punkten (1, 2)" så menar man inte att punkten (1, 2) har lutningen 3 (eftersom en punkt saknar utsträckning och därmed inte heller kan ha någon riktning).
Det man menar är istället att kurvan har medellutningen 3 i en infinitesimal omgivning kring punkten (1, 2).
I praktiken menar man att den linje som tangerar kurvan I punkten (1, 2) har riktningskoefficienten 3.
Blev det lite mer greppbart då?
====
Och ställ massor med frågor kring gränsvärden så märker vi nog rätt snart om du har greppat det eller inte.
Tack för svaret! Jag skriver helt under på att en punkt saknar utsträckning och således även lutning. Då verkar det vara som så att man uttrycker sig lite "slarvigt" - man får aldrig fram lutningen i punkten, utan bara lutningen i punktens närområde som kan vara hur litet som helst (men aldrig 0).
Jag gissar att samma slags logik gäller för momentan förändringshastighet? Dvs den är inte bokstavligen momentan, men kan komma så nära momentan som man önskar.
Är den lite mer "rigorösa" beskrivningen att istället försöka tala om tangentens lutning kanske?
För varje punkt x i en kurva; finns det då en och endast en rät linje som går igenom punkt x men inte igenom punkterna som ligger "precis till höger och vänster" om punkten? I så fall är ju detta mycket tjusigt! :D
Edit: man bör nog lägga till ett krav om att den räta linjen ändå ska ligga så nära de två intilliggande punkterna som möjligt... Annars kan man dra linjerna lite hipp som happ insåg jag!
Den rigorösa definitionen (typ) för derivatan för en funktion f i en punkt är att det för ett intervall [a,b] i f:s definitionsmängd existerar en punkt c i (a,b) (öppet intervall för att det just måste finnas en omgivning) där gränsvärdet existerar. Det ser ganska lätt ut men det beror på att alla regler är inbakade i vad som behöver uppfyllas för att ett gränsvärde ska existera.
För att komma tillbaka till din ursprungsfråga så tycker jag att det hjälper att tänka på fysiska föremål. Ta en linjal och en boll och lägg linjalen mot bollen. Linjalen nuddar bollen på ett enda ställe. Ändrar du linjalens lutning nuddar den bollen på ett annat ställe. Det funkar likadant med kurvor och tangeringslinjer!
ytrewq skrev:Yngve skrev:Hej.
Jag förstår att det kan kännas lite avigt.
Det beror ofta på hut man uttrycker sig, eller hur man tolkar det som uttrycks.
Om man t.ex. säger "kurvan har lutningen 3 i punkten (1, 2)" så menar man inte att punkten (1, 2) har lutningen 3 (eftersom en punkt saknar utsträckning och därmed inte heller kan ha någon riktning).
Det man menar är istället att kurvan har medellutningen 3 i en infinitesimal omgivning kring punkten (1, 2).
I praktiken menar man att den linje som tangerar kurvan I punkten (1, 2) har riktningskoefficienten 3.
Blev det lite mer greppbart då?
====
Och ställ massor med frågor kring gränsvärden så märker vi nog rätt snart om du har greppat det eller inte.
Tack för svaret! Jag skriver helt under på att en punkt saknar utsträckning och således även lutning. Då verkar det vara som så att man uttrycker sig lite "slarvigt" - man får aldrig fram lutningen i punkten, utan bara lutningen i punktens närområde som kan vara hur litet som helst (men aldrig 0).
Jag gissar att samma slags logik gäller för momentan förändringshastighet? Dvs den är inte bokstavligen momentan, men kan komma så nära momentan som man önskar.
Är den lite mer "rigorösa" beskrivningen att istället försöka tala om tangentens lutning kanske?
För varje punkt x i en kurva; finns det då en och endast en rät linje som går igenom punkt x men inte igenom punkterna som ligger "precis till höger och vänster" om punkten? I så fall är ju detta mycket tjusigt! :D
Edit: man bör nog lägga till ett krav om att den räta linjen ändå ska ligga så nära de två intilliggande punkterna som möjligt... Annars kan man dra linjerna lite hipp som happ insåg jag!
Det kan vara bra att komma ihåg vad som är intuition och vad som är en matematisk definition. Derivata av en funktion är ett rigoröst definierat begrepp som det inte råder någon tvetydighet om. En intuition kan vara bra för förståelse, men ofta går matematiken bortom vad man kan förstå med enbart intuition.
Som tidigare poängterats så är det inte tekniskt sett korrekt att säga att en punkt x=a har en lutning, utan man menar lutningen på tangenten, en specifik rät linje.
En tangent är dock inte bara en rät linje som "tangerar", eller nuddar, en kurva i en punkt. En sådan definition är inte speciellt användbar då det finns mängder av funktioner som inte är deriverbara eller ens kontinuerliga som har sådana tangenter.
Man kan definiera vad som menas med tangent på flera olika sätt, men här är två:
Vi kan först definiera vad derivatan av en funktion f(x) i en punkt x=a är (i.e., den vanliga definitionen av derivata). Detta är ett gränsvärde och har inte i förväg något med kurvor eller lutningar att göra. *Motivationen* bakom varför man väljer att göra definitionen till just sådan kan såklart ha med grafer och lutningar att göra, men själva definitionen är ett visst gränsvärde och inget annat.
Givet derivatans definition kan vi sedan definiera tangenten till f(x) i punkten x=a som den unika räta linje som går genom punkten (a, f(a)) och har lutningen f'(a). På så vis sammanfaller derivatan av en funktion i en punkt med lutningen på tangenten i den punkten. Vi har helt enkelt definierat tangenten som sådan.
Ett annat ekvivalent sätt vi kan gå till väga är att definiera tangenten till en funktion f(x) i en punkt x=a som *den bästa linjära approximeringen* av f(x) vid x=a. Ordet 'bästa' går att göra matematiskt precist, men intuitivt så är tangenten i en punkt den räta linje som bäst approximerar funktionen. Det går sedan att visa att existensen av denna bästa linjära approximation är ekvivalent med att f(x) är deriverbar i x=a enligt den vanliga definitionen på derivatan i en punkt. Det går alltså att *definiera* konceptet deriverbarhet med denna bästa linjära approximation.
Man kan alltså tänka på derivatan av en funktion i en punkt x=a som som "lutningen på den räta linje som går genom (a, f(a)) och bäst approximerar funktionen nära x=a". Jag tycker ibland att detta perspektiv är lättare att handskas med än den vanliga definitionen med gränsvärde.
ytrewq skrev:Laguna skrev:Du kanske vill läsa om Zenons paradoxer.
Läste om dessa! Såg att det sägs att analysen löser hans paradoxer, och jag kan tyyp kanske förstå hur det löser Akilles och sköldpaddan och dikotomi-paradoxen. Förstår dock inte hur det löser pil-paradoxen, som känns som den som ligger närmast min frågeställning...?
Jag har aldrig förstått hur analysen "löser" hans paradoxer. Folk säger det hela tiden som om det vore en självklarhet men jag har aldrig hört en bra anledning till hur. Jag har befattat mig en del med analys i mitt liv men jag tycker mig ändå inte förstå "lösningen" på paradoxerna bättre för det.
Jag blandade ihop paradoxerna, men de flesta av Zenons paradoxer är en korrekt beskrivning av verkligheten fram till en viss tidpunkt.
Vi kan se hur positionerna ändras mindre och mindre, dvs vi tar mindre och mindre tidssteg. Det blir då omöjligt för tiden att komma förbi den tidpunkt då haren passerar sköldpaddan.
Gustor skrev:ytrewq skrev:Yngve skrev:Hej.
Jag förstår att det kan kännas lite avigt.
Det beror ofta på hut man uttrycker sig, eller hur man tolkar det som uttrycks.
Om man t.ex. säger "kurvan har lutningen 3 i punkten (1, 2)" så menar man inte att punkten (1, 2) har lutningen 3 (eftersom en punkt saknar utsträckning och därmed inte heller kan ha någon riktning).
Det man menar är istället att kurvan har medellutningen 3 i en infinitesimal omgivning kring punkten (1, 2).
I praktiken menar man att den linje som tangerar kurvan I punkten (1, 2) har riktningskoefficienten 3.
Blev det lite mer greppbart då?
====
Och ställ massor med frågor kring gränsvärden så märker vi nog rätt snart om du har greppat det eller inte.
Tack för svaret! Jag skriver helt under på att en punkt saknar utsträckning och således även lutning. Då verkar det vara som så att man uttrycker sig lite "slarvigt" - man får aldrig fram lutningen i punkten, utan bara lutningen i punktens närområde som kan vara hur litet som helst (men aldrig 0).
Jag gissar att samma slags logik gäller för momentan förändringshastighet? Dvs den är inte bokstavligen momentan, men kan komma så nära momentan som man önskar.
Är den lite mer "rigorösa" beskrivningen att istället försöka tala om tangentens lutning kanske?
För varje punkt x i en kurva; finns det då en och endast en rät linje som går igenom punkt x men inte igenom punkterna som ligger "precis till höger och vänster" om punkten? I så fall är ju detta mycket tjusigt! :D
Edit: man bör nog lägga till ett krav om att den räta linjen ändå ska ligga så nära de två intilliggande punkterna som möjligt... Annars kan man dra linjerna lite hipp som happ insåg jag!
Det kan vara bra att komma ihåg vad som är intuition och vad som är en matematisk definition. Derivata av en funktion är ett rigoröst definierat begrepp som det inte råder någon tvetydighet om. En intuition kan vara bra för förståelse, men ofta går matematiken bortom vad man kan förstå med enbart intuition.
Som tidigare poängterats så är det inte tekniskt sett korrekt att säga att en punkt x=a har en lutning, utan man menar lutningen på tangenten, en specifik rät linje.
En tangent är dock inte bara en rät linje som "tangerar", eller nuddar, en kurva i en punkt. En sådan definition är inte speciellt användbar då det finns mängder av funktioner som inte är deriverbara eller ens kontinuerliga som har sådana tangenter.
Man kan definiera vad som menas med tangent på flera olika sätt, men här är två:
Vi kan först definiera vad derivatan av en funktion f(x) i en punkt x=a är (i.e., den vanliga definitionen av derivata). Detta är ett gränsvärde och har inte i förväg något med kurvor eller lutningar att göra. *Motivationen* bakom varför man väljer att göra definitionen till just sådan kan såklart ha med grafer och lutningar att göra, men själva definitionen är ett visst gränsvärde och inget annat.
Givet derivatans definition kan vi sedan definiera tangenten till f(x) i punkten x=a som den unika räta linje som går genom punkten (a, f(a)) och har lutningen f'(a). På så vis sammanfaller derivatan av en funktion i en punkt med lutningen på tangenten i den punkten. Vi har helt enkelt definierat tangenten som sådan.
Ett annat ekvivalent sätt vi kan gå till väga är att definiera tangenten till en funktion f(x) i en punkt x=a som *den bästa linjära approximeringen* av f(x) vid x=a. Ordet 'bästa' går att göra matematiskt precist, men intuitivt så är tangenten i en punkt den räta linje som bäst approximerar funktionen. Det går sedan att visa att existensen av denna bästa linjära approximation är ekvivalent med att f(x) är deriverbar i x=a enligt den vanliga definitionen på derivatan i en punkt. Det går alltså att *definiera* konceptet deriverbarhet med denna bästa linjära approximation.
Man kan alltså tänka på derivatan av en funktion i en punkt x=a som som "lutningen på den räta linje som går genom (a, f(a)) och bäst approximerar funktionen nära x=a". Jag tycker ibland att detta perspektiv är lättare att handskas med än den vanliga definitionen med gränsvärde.
Tack för svaren! Det tycks som att jag behöver gå vidare till mer rigorösa definitioner för att ta mig längre i detta, men nu har jag fått en bättre förståelse och en viss lättnad över att en punkt inte kan ha en lutning! :)
Kan dock inte hålla mig från att ställa en geometrisk följdfråga angående tangenter... Jag läste en kurs om geometri (bevisbaserad, kul!) i somras och där togs tangenter upp. Där var en sats att det finns exakt en tangent till en cirkel i varje punkt, där tangent definieras som en linje som skär en cirkel i exakt en punkt. Det får mig att gå tillbaka till min tidigare fundering kring huruvida det finns en och endast en linje som tangerar punkt x på en kurva...? I guess not för det kan väl dras oändligt många såna linjer om man inte ställer ytterligare krav. Och det föreslagna ytterligare kravet om att den inte får skära punkten "till höger och vänster" om x funkar inte om det är en lodrät del av en kurva... Eller typ vid en inflexionspunkt?
(Ignorerar nu att en sådan slags tangentdefinition inte är så användbar i derivata-sammanhang!)
naytte skrev:ytrewq skrev:Laguna skrev:Du kanske vill läsa om Zenons paradoxer.
Läste om dessa! Såg att det sägs att analysen löser hans paradoxer, och jag kan tyyp kanske förstå hur det löser Akilles och sköldpaddan och dikotomi-paradoxen. Förstår dock inte hur det löser pil-paradoxen, som känns som den som ligger närmast min frågeställning...?
Jag har aldrig förstått hur analysen "löser" hans paradoxer. Folk säger det hela tiden som om det vore en självklarhet men jag har aldrig hört en bra anledning till hur. Jag har befattat mig en del med analys i mitt liv men jag tycker mig ändå inte förstå "lösningen" på paradoxerna bättre för det.
Tack för input!! Tycker att det är jätteintressant. Har du hört talas om the Quantum Zeno effect? Det är typ att man kan sakta ner ett kvantfysiskt system genom att observera det tillräckligt ofta, som om systemet vill frysa till is och bli stilla varje gång man observerar den. Märkliga grejer!
Tack för svaren! Det tycks som att jag behöver gå vidare till mer rigorösa definitioner för att ta mig längre i detta, men nu har jag fått en bättre förståelse och en viss lättnad över att en punkt inte kan ha en lutning! :)
Kan dock inte hålla mig från att ställa en geometrisk följdfråga angående tangenter... Jag läste en kurs om geometri (bevisbaserad, kul!) i somras och där togs tangenter upp. Där var en sats att det finns exakt en tangent till en cirkel i varje punkt, där tangent definieras som en linje som skär en cirkel i exakt en punkt. Det får mig att gå tillbaka till min tidigare fundering kring huruvida det finns en och endast en linje som tangerar punkt x på en kurva...? I guess not för det kan väl dras oändligt många såna linjer om man inte ställer ytterligare krav. Och det föreslagna ytterligare kravet om att den inte får skära punkten "till höger och vänster" om x funkar inte om det är en lodrät del av en kurva... Eller typ vid en inflexionspunkt?
(Ignorerar nu att en sådan slags tangentdefinition inte är så användbar i derivata-sammanhang!)
En tangent till en cirkel är lite speciell i det att
1. En tangent till en punkt på en cirkel alltid går genom exakt den punkten och ingen annan. Det gäller generellt inte för funktioner.
2. Den enda räta linje som går genom en enda punkt på en cirkel är en tangent till punkten. Generellt kan funktioner ha många räta linjer som bara går genom en punkt på grafen men som inte är tangenter.
På grund av dessa fakta, kan man definiera en tangent till en punkt på en cirkel som den unika linje som går genom endast den punkten. Då får man en definition som är ekvivalent med någon av dem jag gav i mitt förra inlägg.
Ett exempel på när den första egenskapen inte gäller är tangenten y = 1 till funktionen sin(x). Den tangenten skär grafen i oändligt många punkter.
Ett exempel på när den andra egenskapen inte gäller är grafen till funktionen |x|. Det finns oändligt många räta linjer som endast skär grafen i en punkt (0,0), men ingen av dessa linjer är tangenter till funktionen. Funktionen är inte ens deriverbar i x=0, så den har inga tangenter i den punkten.
Är det då fortfarande en tangent om den skär grafen i oändligt med punkter? Jag tänker att man måste kolla på specifika intervall för att det ska få kallas tangent.
Man brukar säga att derivatan beskriver lutningen på tangenten till funktionens graf. Men hur definierar man tangent. Det är ju enkelt att rent intuitivt inse vad som menas med tangent. Men om man vill vara rigorös så kan man kanske definiera det så här.
Två funktioner, f och g, tangerar varandra då x = a om
. (Litet ordo)
Om funktionerna är deriverbara i x = a så tangerar de varandra om och endast om f(a) = g(a) och f’(a) = g’(a).
Tillägg: 3 dec 2024 19:27
En funktion F är o(x) om
MrPotatohead skrev:Är det då fortfarande en tangent om den skär grafen i oändligt med punkter? Jag tänker att man måste kolla på specifika intervall för att det ska få kallas tangent.
Jodå, en tangent kan skära en graf en eller flera gånger, både globalt men också lokalt. Till exempel är tangenten till en rät linje samma räta linje.
I sådana fall kan man tänka på tangenten som den räta linje som bäst approximerar funktionen kring en viss punkt.
Haha ja jag kom på att det händer hur ofta som helst... tack för svar!
Gustor skrev:Tack för svaren! Det tycks som att jag behöver gå vidare till mer rigorösa definitioner för att ta mig längre i detta, men nu har jag fått en bättre förståelse och en viss lättnad över att en punkt inte kan ha en lutning! :)
Kan dock inte hålla mig från att ställa en geometrisk följdfråga angående tangenter... Jag läste en kurs om geometri (bevisbaserad, kul!) i somras och där togs tangenter upp. Där var en sats att det finns exakt en tangent till en cirkel i varje punkt, där tangent definieras som en linje som skär en cirkel i exakt en punkt. Det får mig att gå tillbaka till min tidigare fundering kring huruvida det finns en och endast en linje som tangerar punkt x på en kurva...? I guess not för det kan väl dras oändligt många såna linjer om man inte ställer ytterligare krav. Och det föreslagna ytterligare kravet om att den inte får skära punkten "till höger och vänster" om x funkar inte om det är en lodrät del av en kurva... Eller typ vid en inflexionspunkt?
(Ignorerar nu att en sådan slags tangentdefinition inte är så användbar i derivata-sammanhang!)
En tangent till en cirkel är lite speciell i det att
1. En tangent till en punkt på en cirkel alltid går genom exakt den punkten och ingen annan. Det gäller generellt inte för funktioner.
2. Den enda räta linje som går genom en enda punkt på en cirkel är en tangent till punkten. Generellt kan funktioner ha många räta linjer som bara går genom en punkt på grafen men som inte är tangenter.
På grund av dessa fakta, kan man definiera en tangent till en punkt på en cirkel som den unika linje som går genom endast den punkten. Då får man en definition som är ekvivalent med någon av dem jag gav i mitt förra inlägg.
Ett exempel på när den första egenskapen inte gäller är tangenten y = 1 till funktionen sin(x). Den tangenten skär grafen i oändligt många punkter.
Ett exempel på när den andra egenskapen inte gäller är grafen till funktionen |x|. Det finns oändligt många räta linjer som endast skär grafen i en punkt (0,0), men ingen av dessa linjer är tangenter till funktionen. Funktionen är inte ens deriverbar i x=0, så den har inga tangenter i den punkten.
Tack snälla för svaret! Jag är med på banan nu! :)
Faktiskt rätt intressant med tangenter!
