En linje och ett plan

Om det inte står i texten eller framgår på annat sätt, så är det upp till dig att välja i vilken form du svarar.

Men är det rätt att parameterform för linjen är så som jag skrev på sista raden?

Jag har svårt att läsa riktigt hur du skriver. Om du ska ange en kurva eller linje i parameterform så bör det se ut ung. som i detta exempel:  x=3t, y= 2+t och z= 3-t. Ställ dem gärna under varandra. Man kan också skriva i vektorform: (z,y,z)=(3t, 2+t, 3-t) . Det är t som  kallas Parameter.

Såhär?

Är e med streck under beteckning för enhetsvektor? Jag tror inte det behövs om bara koordinatsystemet är väl etablerat och det är det ju här eftersom problemtexten själv anger en given punkt.

Är det rätt annars?

Det därmed e understruket bör du stryka. Det andra ska stå kvar. Notera att det jag skrev bara var ett exempel och inte svar på uppgiften.

Ja men jag skrev ju in uppgiftens frågor? Är de inte rätt då?

Vi här på akuten vill ogärna agera som ett andra facit. Jag valde därför ett exempel med andra siffror än i den ursprungliga uppgiftstexten och påpekade även att det var ett exempel.

Om vi tittar på ditt svar på själva uppgiften, alltså sista raden med den gröna texten, så kan jag inte se någon parameter där, men det är lite svårläst för mig så jag kan ha fel. Klart är att om det inte finns någon parameter så är det inte skrivet på parameterfom. Ditt inledande resonemang verkar annars helt OK.

En linje på parameterform med parametern $t$ som går genom punkten $\mathbf{p}_0$ och som har riktningen $\mathbf{v}$ kan skrivas

$t\mathbf{v}+\mathbf{p}_0$

Man kan också skriva den så här (med $\mathbf{p}_0=(p_x,p_y,p_z)$)

$\begin{array}{ccc} x & =&tv_x +p_x \\ y & =& tv_y +p_y \\ z & =& tv_z +p_z\end{array}$

Som tomten påpekar har du inte med någon parameter i ditt svar.

På uppgift b) kan du sätta in uttrycken för x(t), y(t) och z(t) i planets ekvation och lösa ut ett värde på t.

Jag förstår inte riktigt hur jag får fram dem när jag endast har en punkt och ett plan

Vad fick du för svar på a)? Skriv det som

$x=\dots$

$y=\dots$

$z=\dots$

Sätt sedan in dina uttryck för $x,y,z$ i planets ekvation och lös ut för vilket värde på t linjen alltså skär planet.

Jag förstår fortfarande inte a, förlåt om jag är jätteformat nu! 
men jag har punkterna (2,-4,1). Är de samma som v1,v2 och v3? Eller hur gör jag för att skriva denna punkt i formeln? Vart sätter jag in om?

Är a rätt? Vad gör jag för fel i b? Jag får inte ut något värde på t och s

I början kom du fram till att linjen ska ha samma riktning som planets normal, dvs vektorn

$v=\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}$. Men sedan blir det konstigt.

Linjen ska gå genom den blå punkten (2,-4,1) i normalens riktning ned till planet den röda punkten. På uppgift b) gäller det att klura ut för vilket värde $t$ linjen skär planet (den röda punkten).

När du har rättat till riktningen på din linje, kan du sätta in uttrycket för $x,y,z$ du fått i planets ekvation på normalform ($3x+2y-z=5$) och lösa ut ett värde på $t$. Du behöver inte göra om planet till parameterform. Det blir bara krångligare.

Såhär?

Eller såhär?

En punkt i 3 dimensioner har tre koordinater, en för varje dimension.

Du har räknat ut för vilket värde på parametern $t=\frac47$ linjen skär planet.

Men för att få reda på vilket värde på $(x,y,z)$ det motsvarar, dvs i vilken punkt det sker, måste du sätta in parametervärdet i linjen.

Svaret är alltså en punkt, inte ett parametervärde.

Är detta korrekt?

Och när jag räknar om får jag t=2 är de fel?

Ja, hur fick du det?

$t=\frac47$ var korrekt.

Din föreslagna punkt $(8,0,-1)$ ligger inte i planet ty

$3x+2y-z=3\cdot 8+2\cdot 0-1\cdot (-1)=25\neq 5$

Är detta rätt?

Nästan, du måste ha med minustecknet i svaret.

Nu kan vi testa att punkten du hittat uppfyller planets ekvation $(3x+2y-z=5)$

$3\cdot(\frac{26}{7})+2\cdot(-\frac{20}{7})-(\frac{3}{7})=5$ CHECK!

Okej tack för hjälpen! Skulle du kunna kolla snabbt på min andra tråd om skärningsvinkel också? Har prov imorgon och förstår inte riktigt om jag har gjort rätt där :)