En linjär diofantisk ekvation med 3 variabler.
Hej, jag har lite problem med denna uppgiften och är inte säker på hur man ska gå till väga. Vi har fått en introduktion till diofantiska ekvationer med 2 variabler men nu ska vi lösa en med 3...
Den ser ut så här:
Tacksam för all hjälp!
Att ekvationen har lösningar kan man ju enkelt se tex: x=1, y=-2, z=1.
Mer allmänt kan vi skriva om ekvationen:
6x+10y=1-15z
Man ser då att lösningen har lösningar endast om z är udda. Sätt z=2t+1 och vi får:
6x+10y=-30t-14
dvs
3x+5y=-15t-7.
Vi kan betrakta t som en konstant och har då alltså en vanlig diofantisk i två ekvationer som enligt känd teori för diofantiska har oändligt många lösningar för varje värde på t, pga SGD(3,5)=1. Dessa lösningar kan uttryckas i t.
Finns först en partikulärlösning för t=0. Formulera sedan generell lösning för t=0.
Utifrån lösning för t=0 är det enkelt att hitta lösningar för övriga t, på följande sätt.
Om (x,y) löser:
3x+5y=-7
så löser (x-5t,y):
3(x-5t)+5y=-15t-7.
