En läskig generaliserad integral

Halloj, jag har problem med följande uppgift:

$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{\sin x} - 1}{x \sqrt{x}} d x$ .

Jag har jämförelsekriterium I och II för gen. integraler och så har jag att om integralen av absolutbeloppet av integranden konvergerar så konvergerar även integralen (av integranden utan absolutbelopp).

Problemet är att jag vet inte ens vart jag ska börja, ledning skulle uppskattas. Jag försökte använda I och II med $\frac{e^{x} - 1}{x}$ , när x går mot 0, men det gav inget vidare resultat.

Jag vet att jag bör dela upp integralen till två integraler från 0 till a (a>0) samt från a till oändligheten.

Jag vill som sagt inte ha en lösning, då en av mina inlämningsuppgifter liknar den här, bara någon sort ledning

Tack i förhand!

Vid 0 kan du få ett ändligt standardgränsvärde * 1/rotx om du använder olikheten sinx<x. Alternativt kan du bara förlänga med sinx/sinx så har du 2 ändliga standardgränsvärden istället.

Mot oändligheten kan du sätta sinx<1 och skriva ihop nämnaren som x^(3/2).

Micimacko skrev:
Vid 0 kan du få ett ändligt standardgränsvärde * 1/rotx om du använder olikheten sinx<x. Alternativt kan du bara förlänga med sinx/sinx så har du 2 ändliga standardgränsvärden istället.
Mot oändligheten kan du sätta sinx<1 och skriva ihop nämnaren som x^(3/2).

Jag testade ditt första förslag:

$\frac{\frac{e^{\sin x} - 1}{x \sqrt{x}}}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Jag ser att det första bråket närmar sig 1, enligt standard gränsvärdet, men 1/sqrt(x) går ju mot oändligheten alltså kan jag inte använda jämförelsekriterium II här?

Jag testar att förlänga med sinx/sinx:

$\frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x \sqrt{x}} = \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} \cdot \frac{x + O (x^{3})}{x \sqrt{x}} = \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x} (\frac{1}{\sqrt{x}} + O (x^{3 / 2}))$ .

när x går mot 0 går ju ena bråket mot 1 men det andra bråket mot oändligheten utav 1/rotx? Jag kan inte applicera jämförelsekriterium här heller, hur jag applicerat ditt tankesätt fel, eller har jag slarvat till det någonstans?

Om du skriver roten som upphöjt till 1/2 istället så kan du jämföra med 1/x^a eller liknande, det borde finnas någon variant på den i boken, som säger att integralen är konvergent i 0 om a<1.

Annars kan du bara integrera 1/rotx som vanligt och se vad det blir.

Micimacko skrev:
Annars kan du bara integrera 1/rotx som vanligt och se vad det blir.

1/rotx är konvergent när man går mot 0, men den går mot 0, så jämförelsekriterium II går inte använda, men ditt argument är alltså att eftersom den första faktorn med sinx är konvergent och 1/rotx är konvergent, så kan jag integrera en av dom? Jag förstår inte ditt resonemang riktigt? Är det någon sats du använder?

Jämförelsekriterium 2 i min bok säger att integralen av en funktion som är konvergent * en funktion med ändligt gränsvärde => integralen av produkten är konvergent. Säger din något annat? Isf vad?

Micimacko skrev:
Jämförelsekriterium 2 i min bok säger att integralen av en funktion som är konvergent * en funktion med ändligt gränsvärde => integralen av produkten är konvergent. Säger din något annat? Isf vad?

Det här säger min:

Gränsvärdet blir ju noll här

Vad är det för bok du använder?

Nej det blir inte 0. Det du la upp handlar om serier, inte integraler så du får kanske döpa om funktionerna sen men principen är samma. Byt ut x mot 1/y om integralversionen också vill ha gränsvärdet mot oändligheten.

Om du kallar den integral du har för a och 1/rotx för b så blir a/b= e^sin-1 / sin som går mot 1. 1/rotx finns med i båda så den är bara att stryka.

Micimacko skrev:
Nej det blir inte 0. Det du la upp handlar om serier, inte integraler så du får kanske döpa om funktionerna sen men principen är samma. Byt ut x mot 1/y om integralversionen också vill ha gränsvärdet mot oändligheten.
Om du kallar den integral du har för a och 1/rotx för b så blir a/b= e^sin-1 / sin som går mot 1. 1/rotx finns med i båda så den är bara att stryka.

Aj då, råkade visst inkludera fel sats, men den med integraler ser precis likadan ut, så som du säger, fast med summa tecknet utbytt. Okej jag ser nu vad du menar, det verkar fungera, jag återkommer vid oändligheten antagligen.

Svara

Visa senaste svar