En kvadrat

Du krånglar till det något kolossalt. Du har gjort massor av beräkningar, men inte tagit fram något alls som kan behöver för att lösa uppgiften. Du vill inte veta om kvadratens sidor är vinkelräta mot varandra, du vill undersöka diagonalerna.

Gör så här i stället:

Rita in de fyra hörnen i ett koordinatsystem och rita in kvadraten.

Rita in de båda diagonalerna och ta reda på diagonalernas k-värden.

Är $k_2 \cdot k_2 = -1$? I så fall är linjerna vinkelräta.

Det finns endast två diagonaler i en fyrhörning (och alltså kvadrat). 

Så, du behöver räkna ut riktningskoefficienten för dessa två, vilket du gjort, men även för kvadratens sidor. 

Nummer 2 och 4 är dina diagonaler.

Du har tydligen beräknat både $$k_1$$ och $$k_2$$ men din redovisning är så rörig att jag inte hittade det.

Jag höll på letade efter kombinationerna som jag hade gjort. Sedan skrev jag koordinaterna på dessa och vilka som går ihop och hittade de tillslut. Det var rätt nyligen jag hittade rätta. 

Nu är detta bevisat i alla fall. 

Om du hade börjat med att rita upp både kvadraten och diagonalerna hade du sluppit många onödiga uträkningar.

Det skulle jag ha gjort. Jag tittade först vilka nu är vinkelräta. Hur många sådana får jag. Sedan visste jag inte, vilka som hör till vilka. Tillslut skrev jag koordinaterna och kollade på kombinationerna på nytt. På det viset hittade jag de. 

Tack i alla fall Magdalena! 

Det är fascinerande hur svårt det är att få elever att alltid ta till vana att rita om det överhuvud taget går. Den tid det tar att rita brukar man få igen många gånger om. Om den här uppgiften får dig att ta till vana att snabbt rita upp en skiss innan du börjar räkna, så är det den bästa uppgift du har gjort i år.

Det bra, Magdalena!

Om du någon gåmg skulle vara tvungen att algebraiskt ta reda på vilka av sträckorna mellan två hörn i en kvadrat som är diagonaler så kan du göra det genom att beräkna längden på alla dessa sträckor (med hjälp av avståndsformeln, vilket i detta fallet är samma sak som Pythagoras sats). De två sträckor som då visar sig vara  längst är diagonalerna. Och de inblandade hörnen blir då såklart de diagonalt motstående hörnen.

-----------

Nu är det inte så troligt att du kommer att behöva göra det när det gäller en kvadrat i xy-planet, men om du till exempel vill ta reda på vilka sträckor mellan hörnen som är rymddiagonaler i en kub så kan samma angreppssätt vara användbart. Då kan det ju vara lite svårare att visualisera/rita en figur som direkt ger dig svaret.

Ett problem med mig är att jag minns inte exakt hur man gjorde avstånds formeln. Det var bra länge sedan jag höll på med sådant. Jag blandar ihop med vektorer också. Jag vet att det har med rot tecknet att göra. Man tar y från ena minus med andra y och det kvadrat plus x minus med andra x i kvadrat och alltihop sedan roten ut. Det är något åt ditåt, men exakt minns jag inte. Det är enkelt, men kommer inte exakt ihåg. Pythagoras sats kommer jag ihåg bra. 

Avståndsformeln ÄR pythagoras sats. Den ena kateten är skillnaden i x-led, den andra kateten är skillnaden i y-led, och så använder du Pythagoras sats för att beräkna avståndet mellan punkterna = hypotenusan.

Pythagoras sats kan jag. 

Pythagoras sats är ett specialfall av avståndsforneln, nämligen i det tvådimensionella fallet.

Avståndsforneln är generell och gäller för ett godtycklig-dimensionellt rum.