En kula som skjuts upp

Kulan skjuts från 80 meters höjd, dvs f(0)=80

Som programmeraren sade är $f\left(0\right)=80$, inte $0$.

Här är ett förslag på hur jag skulle lösa den:
Vi får gratis två punkter, varav en ligger på symmetrilinjen. Detta är användbart eftersom det indirekt ger oss en tredje också, nämligen punkten $(4, 80)$, eftersom $\frac{4+0}{2}=2$ (Man uttnyttjar att alla parabler har samma y-värde på två ställen). Vi vet redan från början att $f\left(0\right)=80$, så c-värdet i den allmänna formen för andragradskurvor $a{x}^2+bx+c$ blir 80.

Resten blir en barnlek, vi kan förslagsvis ställa upp ett ekvationssystem för att lösa ut de resterande variablerna $a$ och $b$:

$\left\{\begin{array}{l}80=a·4^2+2b+80\\ 144=a·2^2+2b+80\end{array}\right.$

Tillägg: 30 mar 2022 18:22

Ekvationssystemet är fel, det ska egentligen vara:

$\left\{\begin{array}{l}80=4^2·a+4b+80\\ 144=2^2·a+2b+80\end{array}\right.$

naytte skrev:

Som programmeraren sade är $f\left(0\right)=80$, inte $0$.

Här är ett förslag på hur jag skulle lösa den:
Vi får gratis två punkter, varav en ligger på symmetrilinjen. Detta är användbart eftersom det indirekt ger oss en tredje också, nämligen punkten $(4, 80)$, eftersom $\frac{4+0}{2}=2$ (Man uttnyttjar att alla parabler har samma y-värde på två ställen). Vi vet redan från början att $f\left(0\right)=80$, så c-värdet i den allmänna formen för andragradskurvor $a{x}^2+bx+c$ blir 80.

Resten blir en barnlek, vi kan förslagsvis ställa upp ett ekvationssystem för att lösa ut de resterande variablerna $a$ och $b$:

$\left\{\begin{array}{l}80=a·4^2+2b+80\\ 144=a·2^2+2b+80\end{array}\right.$

---

Tillägg: 30 mar 2022 18:22

Ekvationssystemet är fel, det ska egentligen vara:

$\left\{\begin{array}{l}80=4^2·a+4b+80\\ 144=2^2·a+2b+80\end{array}\right.$

Hur får du att symmetrilinjen går mellan 0 och 4 när f(0)=80, dvs att f(0) inte är en rot?

Svårt att se hur parabelns ekvation kan räknas ut utan att använda derivering.

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c=144 \\ f\left(0\right)=80 \Rightarrow c=80 \\ f\text{'}\left(2\right)=0 \Rightarrow a=-\frac{b}{4} \\ -\frac{b}{4}·2^2+b·2+80=144 \\ b=64 \\ a=-\frac{64}{4} \\ f\left(x\right)=-\frac{64}{4}{x}^2+64x+80 \\ f\left(x\right)>130 \\ -\frac{64}{4}{x}^2+64x+80=130 \\ -\frac{64}{4}{x}^2+64x-50=0 \\ {x}^2-4x+\frac{25}{8}=0 \\ x=2\pm \sqrt{4-\frac{25}{8}} \end{gathered}$$

Tiden den befinner sig ovan 130 meter ska alltså vara Δx antal sekunder.

Tillägg: 30 mar 2022 22:40

Glöm det här och se #6 nedan.

Eftersom det tar 2 s för kulan att komma upp till 144 m så tar det också 2 s att komma ned till 80 m nivån igen. Där har vi vår parabel.

Vi kan alltså sätta att vi har parabeln y = kx(x-4). Vi bestämmer k med att vi vet att (144-80) = k2 (2-4). Sedan kan vi titta på hur lång tid som kulan befinner sig ovanför 130-80 = 50m

Euclid skrev:

naytte skrev:

Som programmeraren sade är $f\left(0\right)=80$, inte $0$.

Här är ett förslag på hur jag skulle lösa den:
Vi får gratis två punkter, varav en ligger på symmetrilinjen. Detta är användbart eftersom det indirekt ger oss en tredje också, nämligen punkten $(4, 80)$, eftersom $\frac{4+0}{2}=2$ (Man uttnyttjar att alla parabler har samma y-värde på två ställen). Vi vet redan från början att $f\left(0\right)=80$, så c-värdet i den allmänna formen för andragradskurvor $a{x}^2+bx+c$ blir 80.

Resten blir en barnlek, vi kan förslagsvis ställa upp ett ekvationssystem för att lösa ut de resterande variablerna $a$ och $b$:

$\left\{\begin{array}{l}80=a·4^2+2b+80\\ 144=a·2^2+2b+80\end{array}\right.$

---

Tillägg: 30 mar 2022 18:22

Ekvationssystemet är fel, det ska egentligen vara:

$\left\{\begin{array}{l}80=4^2·a+4b+80\\ 144=2^2·a+2b+80\end{array}\right.$

Hur får du att symmetrilinjen går mellan 0 och 4 när f(0)=80, dvs att f(0) inte är en rot?

Jag tänkte att man kan uttnyttja att vertexen är i punkten $(2, 144)$. Om symmetrilinjen är $x=2$, och vi vet att det kommer finnas en till punkt, lika långt i x-led från symmetrilinjen som punkten $(0, 80)$. Vi kan skriva den okända punkten som $(x, 80)$.

Vi vet att föjande gäller: $\frac{x+0}{2}=2$, då kan vi dra slutsatsen att $x=4$, vilket ger punkten $(4, 80)$