en kontinuerlig punkt medför derivarberhet!?

Jag tror det står något annat. Det borde stå $\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a)$.

Laguna skrev:

Jag tror det står något annat. Det borde stå $\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(a)$.

Ja, jag skrev av fel. Men frågan återstår:

Jag kollar upp definitionen för kontinuitet i punkten $a$ och finner att det gäller då $\lim_{x\longrightarrow a} f(a)=f(a)$ uppfylls. Antar att det innebär att det måste gälla för både vänter- respektive högerled? Givet att det gäller så tänker jag att det medför att punkten $a$ är deriverarbar?

slutsats: Alltså kommer jag fram till slutsaten att om punkten $a$ är kontinuerlig är medför det att punkten är deriverarbar. (Som jag kommer ihåg det så medför deriverarbarhet att punkten är kontinuerlig, men inte tvärt om. Vart i mitt resonemang har det blivit fel?

Det blir något fel, en funktion är deriverbar i en punkt $a$ om gränsvärdet

$\displaystyle f^\prime\left(a\right)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

existerar.

Du har inte på något sätt visat att denna differenskvot existerar.

Påståendet stämmer tyvärr inte åt det hållet, men det stämmer åt andra hållet. Deriverbarhet medför alltid kontinuitet. Ett bra exempel på en överallt kontinuerlig funktion som inte är deriverbar överallt är $f$ som definieras enligt:

$\displaystyle f\left(x\right) = \left|x\right|$

Du kan försöka bevisa att deriverbarhet nödvändigtvis medför kontinuitet som en övning! :D

Det finns t.o.m. funktioner som är kontinuerliga överallt men inte deriverbara någonstans.

Laguna skrev:

Det finns t.o.m. funktioner som är kontinuerliga överallt men inte deriverbara någonstans.

Spännade! Kan du ge något exempel?

D4NIEL skrev:

Det blir något fel, en funktion är deriverbar i en punkt $a$ om gränsvärdet

$\displaystyle f^\prime\left(a\right)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

existerar.

Du har inte på något sätt visat att denna differenskvot existerar.

Okej, Stort tack!

Jag tror det är här mitt resonemang faller!

Ett klassiskt exempel på en överallt kontinuerlig funktion som inte är deriverbar någonstans är Weierstraßfunktionen.

naytte skrev:

Ett klassiskt exempel på en överallt kontinuerlig funktion som inte är deriverbar någonstans är Weierstraßfunktionen.

Oj, det var riktigt häftigt!