En konceptuell fråga om partikulärlösningen och den homogena lösningen
Vad EXAKT är en partikulärlösning i exempelvis en graf? Hur tolkar man konceptuellt vad en partikulärlösning är? Är det, ”det värde som en funktion närmar sig?” Nästan som i stil med en asymptot? Och den homogena lösningen förstår jag som såhär: I ett koordinatsystem så kan flödesriktningen se annorlunda ut beroende på vilken differentialekvation vi sysslar med, C värdet avgör vilken av alla oändliga möjligheter som just denna diff. ekv symboliserar”. Håller ni med mig?
En partikulärlösning till en diffekvation är en funktion som löser ekvationen.
T.ex
y' + y = x + 1
har en partikulärlösning
yp = x
Partikulärlösningen och den homogena lösningen är ju två termer som sammanlagt blir den fullständiga lösningen på differentialekvationen. Mer än så kan man egentligen inte säga om dem - de är två steg på väg mot lösningen. Var och en för sig är de inte lösningar på din differentialekvation (de är dock lösningar på andra, liknande, differentialekvationer), tillsammans blir de lösningen.
I och med att den homogena lösningen alltid är en exponentialfunktion så kommer den att karakterisera lösningen vid stora x (små x om exponenten är negativ), och partikulärlösningen kommer att vara viktigare vid små (stora) x. Partikulärlösningen kan också den vara en exponentialfunktion, så klart, och då kanske båda är viktiga vid stora/små x.
Jag vet inte riktigt om det var svar på din fråga, men min känsla är att du söker mönster och struktur på något som kanske tyvärr är lite för brett.
jolindbe skrev :Var och en för sig är de inte lösningar på din differentialekvation (de är dock lösningar på andra, liknande, differentialekvationer), tillsammans blir de lösningen.
Partikulärlösningen är en funktion (vilken som helst) som löser diffekvationen.
I mitt exempel ovan tog jag
yp = x
men jag hade lika gärna kunnat ta
yp = 57*e^(-x) + x
Båda dessa funktioner är partikulärlösningar till
y' + y = x + 1
Den allmänna lösningen är
y = C*e^(-x) + x
där C är en godtycklig konstant.
Dr. G skrev :Partikulärlösningen är en funktion (vilken som helst) som löser diffekvationen.
Helt sant, jag uttryckte mig slarvigt. Jag menade att det inte är den fullständiga lösningen på differentialekvationen, men naturligtvis är partikulärlösningen en ekvation som löser diffekvationen, sorry.
Om vi har en inhomogen differentialekvation, t.ex.
och en partikulärlösning , samt en homogen lösning (som löser) , så löser även den inhomogena differentialekvationen. Detta kan förstås eftersom att
